微分積分例

$y = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

$y = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.1.1.1.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.1.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.1.1.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.1.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.1.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.1.1.5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.1.1.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.1.1.6.2

$\frac{2}{3}$ と ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.1.1.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.1.1.7

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.1.1.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.1.1.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

ステップ 2.1.1.10

分数をまとめます。

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ステップ 2.1.1.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

ステップ 2.1.1.10.2

$2$ と $\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} x$

ステップ 2.1.1.10.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} x$

ステップ 2.1.1.10.4

$\frac{4}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$\frac{4}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ の微分係数は $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.3.1

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.3.3

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.4

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.4.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.6

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.8.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.9

分数をまとめます。

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ステップ 2.1.2.9.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.9.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.9.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.9.4

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.10

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.12

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.13

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.13.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.13.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.13.3

$- 2$ と $\frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.13.4

$\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.14

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.15

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.17

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.18

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.19

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.20

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.21

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.22

指数を足して ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ に ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.22.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.22.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.22.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.22.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.22.5

$3$ を $3$ で割ります。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.23

${(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3$ を簡約します。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.24

$3$ を $x^{2} + 1$ の左に移動させます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.25

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ を積として書き換えます。

$\frac{4}{3} (\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.1.2.26

$\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ に $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.27

指数を足して ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ に ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.27.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 2.1.2.27.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.27.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

ステップ 2.1.2.27.4

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.1.2.28

$\frac{4}{3}$ に $\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ をかけます。

$\frac{4 (3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2})}{3 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

ステップ 2.1.2.29

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{4 (3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.1.2.30

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.30.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.1.2.30.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot 1) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.1.2.30.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.30.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.30.3.1.1

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot 1) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.1.2.30.3.1.2

$4 (3 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.30.3.1.2.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{12 x^{2} + 4 \cdot 3 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.1.2.30.3.1.2.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{12 x^{2} + 12 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.1.2.30.3.1.3

$- 2$ に $4$ をかけます。

$\frac{12 x^{2} + 12 - 8 x^{2}}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.1.2.30.3.2

$12 x^{2}$ から $8 x^{2}$ を引きます。

$\frac{4 x^{2} + 12}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.1.2.30.4

$4$ を $4 x^{2} + 12$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.30.4.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 (x^{2}) + 12}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.1.2.30.4.2

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.1.2.30.4.3

$4$ を $4 x^{2} + 4 \cdot 3$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ です。

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

ステップ 2.2.2

分子を0に等しくします。

$4 (x^{2} + 3) = 0$

ステップ 2.2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.2.3.1

$4 (x^{2} + 3) = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.3.1.1

$4 (x^{2} + 3) = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.2.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.2.3.1.2.1.2

$x^{2} + 3$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + 3 = \frac{0}{4}$

ステップ 2.2.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x^{2} + 3 = 0$

ステップ 2.2.3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x^{2} = - 3$

ステップ 2.2.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 3}$

ステップ 2.2.3.4

$\pm \sqrt{- 3}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.3.4.1

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

ステップ 2.2.3.4.2

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

ステップ 2.2.3.4.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{3}$

ステップ 2.2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{3}$

ステップ 2.2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{3}$

ステップ 2.2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

ステップ 3

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\sqrt[3]{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{4 ({(0)}^{2} + 3)}{9 {({(0)}^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{4 (0 + 3)}{9 {(0^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 5.2.1.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 {(0^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 5.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 5.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

$4$ に $3$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{12}{9 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.2

$9$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{12}{9}$

ステップ 5.2.3.3

$12$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{3 (4)}{9}$

ステップ 5.2.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

ステップ 5.2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

ステップ 5.2.3.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (0) = \frac{4}{3}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $\frac{4}{3}$ です。

$\frac{4}{3}$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, \infty)$ でグラフが上に凹です。

グラフは上に凹です。

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例