微分積分例

$y = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

$y = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$f (x) = 2 x^{2} - 1$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1] - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

総和則では、 $2 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.6.1

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.6.2

$4$ を $x^{2} - 1$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.7

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.10.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - 2 (2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 1) x - 2 (2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.5.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.5.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.5.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.5.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.5.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.1.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.1.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.2

$4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 2 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.5.2.1

$4 x^{3}$ から $4 x^{3}$ を引きます。

$\frac{- 4 x + 0 + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.2.2

$- 4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 4 x + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.3

$- 4 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{- 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.7.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.7.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$- \frac{2 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.7.3

積の法則を $(x + 1) (x - 1)$ に当てはめます。

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$

ステップ 2.1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.2

${(x + 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4

$f (x) = {(x + 1)}^{2}$ および $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x - 1$ とします。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.5.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$2$ を ${(x + 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 \cdot {(x + 1)}^{2} (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + 0) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) \cdot 1 + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.7

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + 1$ とします。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.8

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.1

$2$ を ${(x - 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 \cdot {(x - 1)}^{2} (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.8.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.8.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.8.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + 0))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.8.5

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) \cdot 1)}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.8.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.8.5.3

$- 2$ と $\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.8.5.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.1

積の法則を ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ に当てはめます。

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)) - x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.4.1

$2 (x + 1) (x - 1)$ を $2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.4.1.1

$2 (x + 1) (x - 1)$ を $2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.1.2

$2 (x + 1) (x - 1)$ を $2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)))$ で因数分解します。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.1.3

$2 (x + 1) (x - 1)$ を $2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ で因数分解します。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.1.4

$2 (x + 1) (x - 1)$ を $2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1)))$ で因数分解します。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.1.5

$2 (x + 1) (x - 1)$ を $2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))$ で因数分解します。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1)) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.2

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.4.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.4.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.4.3.1.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x (x - 1) + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3.1.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3.1.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.4.3.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3.2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 0 - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3.2.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.4.3.4.1

$x$ を移動させます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3.6

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3.7

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.4.3.7.1

$x$ を移動させます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3.7.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.3.8

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.4

$x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.4.4.1

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.4.2

$x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.5

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- x^{2} - 1 - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.4.6

$- x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.5.1

${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.5.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9.5.2

${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2.9.5.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.5.3

$x + 1$ と ${(x + 1)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.5.3.1

$x + 1$ を $2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ で因数分解します。

$- \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.5.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.5.3.2.1

$x + 1$ を ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ で因数分解します。

$- \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

ステップ 2.1.2.9.5.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

ステップ 2.1.2.9.5.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{(2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.5.4

$x - 1$ と ${(x - 1)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.5.4.1

$x - 1$ を $2 (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ で因数分解します。

$- \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.9.5.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.5.4.2.1

$x - 1$ を ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ で因数分解します。

$- \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

ステップ 2.1.2.9.5.4.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

ステップ 2.1.2.9.5.4.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.9.6

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.9.7

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 (1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.9.8

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.9.9

$- (3 x^{2} + 1)$ を $- 1 (3 x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$- \frac{2 (- 1 (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.9.10

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.9.11

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.9.12

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ です。

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$

ステップ 2.2.2

分子を0に等しくします。

$2 (3 x^{2} + 1) = 0$

ステップ 2.2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$2 (3 x^{2} + 1) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

$2 (3 x^{2} + 1) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.3.1.2.1.2

$3 x^{2} + 1$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} + 1 = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$3 x^{2} + 1 = 0$

ステップ 2.2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 x^{2} = - 1$

ステップ 2.2.3.3

$3 x^{2} = - 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1

$3 x^{2} = - 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.2.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.2.3.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.2.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

ステップ 2.2.3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

ステップ 2.2.3.5

$\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.1

$- \frac{1}{3}$ を $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

ステップ 2.2.3.5.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

ステップ 2.2.3.5.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

ステップ 2.2.3.5.3

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.2.3.5.4

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.2.3.5.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.2.3.5.6

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

ステップ 2.2.3.5.7

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.7.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 2.2.3.5.7.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 2.2.3.5.7.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 2.2.3.5.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.2.3.5.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.2.3.5.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.2.3.5.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.3.5.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.3.5.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.3.5.7.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 2.2.3.5.7.6.5

指数を求めます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.2.3.5.8

$i$ と $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.2.3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.2.3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.2.3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} = 1$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 3.2.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 1, - 1}$

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 1, - 1}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 {(- 4)}^{2} + 1)}{{((- 4) + 1)}^{3} {((- 4) - 1)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 \cdot 16 + 1)}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$3$ に $16$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 + 1)}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.3

$48$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{{(- 3)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$- 4$ から $1$ を引きます。

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{{(- 3)}^{3} {(- 5)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{- 27 {(- 5)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.4

$- 5$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{- 27 \cdot - 125}$

ステップ 5.2.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2$ に $49$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{98}{- 27 \cdot - 125}$

ステップ 5.2.3.2

$- 27$ に $- 125$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{98}{3375}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $\frac{98}{3375}$ です。

$\frac{98}{3375}$

ステップ 5.3

$f'' (- 4)$ が正なので、区間 $(- \infty, - 1)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 1)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(- 1, 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} + 1)}{{((0) + 1)}^{3} {((0) - 1)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を $- 1 (0)$ に書き換えます。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot 0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$- 1$ を $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot (0 - 1))}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.4

積の法則を $- 1 \cdot (0 - 1)$ に当てはめます。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1)}^{3} \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

ステップ 6.2.2.5

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

ステップ 6.2.2.6

指数を足して ${(0 - 1)}^{3}$ に ${(0 - 1)}^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.6.1

${(0 - 1)}^{3}$ を移動させます。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

ステップ 6.2.2.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{3 + 3}}$

ステップ 6.2.2.6.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

ステップ 6.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{2}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

ステップ 6.2.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$0$ から $1$ を引きます。

$f'' (0) = \frac{2}{- 1 {(- 1)}^{6}}$

ステップ 6.2.4.2

$- 1$ を $6$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{2}{- 1 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{2}{- 1}$

ステップ 6.2.5.2

$2$ を $- 1$ で割ります。

$f'' (0) = - 2$

ステップ 6.2.6

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 6.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- 1, 1)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- 1, 1)$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(1, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = \frac{2 (3 {(4)}^{2} + 1)}{{((4) + 1)}^{3} {((4) - 1)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{2 (3 \cdot 16 + 1)}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

$3$ に $16$ をかけます。

$f'' (4) = \frac{2 (48 + 1)}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.3

$48$ と $1$ をたし算します。

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$4$ と $1$ をたし算します。

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{5^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$4$ から $1$ を引きます。

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{5^{3} \cdot 3^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$5$ を $3$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{125 \cdot 3^{3}}$

ステップ 7.2.2.4

$3$ を $3$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{125 \cdot 27}$

ステップ 7.2.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$2$ に $49$ をかけます。

$f'' (4) = \frac{98}{125 \cdot 27}$

ステップ 7.2.3.2

$125$ に $27$ をかけます。

$f'' (4) = \frac{98}{3375}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $\frac{98}{3375}$ です。

$\frac{98}{3375}$

ステップ 7.3

$f'' (4)$ が正なので、区間 $(1, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(1, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 1)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- 1, 1)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(1, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例