微分積分例

$y = \frac{1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

$y = \frac{1}{x^{2} + 1}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ を ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 1})$

ステップ 2.1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 2.1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 2.1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 2.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 2.1.1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

ステップ 2.1.1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

ステップ 2.1.1.3.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

ステップ 2.1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

ステップ 2.1.1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

ステップ 2.1.1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

ステップ 2.1.1.4.2.3

$x$ と $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.4.2.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.3.3

${(x^{2} + 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.2

$x^{2} + 1$ を ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.2.1

$x^{2} + 1$ を ${(x^{2} + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.2.2

$x^{2} + 1$ を $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.2.3

$x^{2} + 1$ を $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$x^{2} + 1$ を ${(x^{2} + 1)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.6.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.6.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.7

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.10.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.11

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.12

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.15

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = - 2 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.16

$- 2$ と $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.17

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.18.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.18.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.18.2.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.18.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.18.3

$2$ を $- 6 x^{2} + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.18.3.1

$2$ を $- 6 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.18.3.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.18.3.3

$2$ を $2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.18.4

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.18.5

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.18.6

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.18.7

$- (3 x^{2} - 1)$ を $- 1 (3 x^{2} - 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.18.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.18.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

ステップ 2.1.2.18.10

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ です。

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

ステップ 2.2.2

分子を0に等しくします。

$2 (3 x^{2} - 1) = 0$

ステップ 2.2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$2 (3 x^{2} - 1) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

$2 (3 x^{2} - 1) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.3.1.2.1.2

$3 x^{2} - 1$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 1 = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$3 x^{2} - 1 = 0$

ステップ 2.2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x^{2} = 1$

ステップ 2.2.3.3

$3 x^{2} = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1

$3 x^{2} = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 2.2.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 2.2.3.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{1}{3}$

ステップ 2.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.2.3.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.1

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.2.3.5.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.2.3.5.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.2.3.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 2.2.3.5.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 2.2.3.5.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 2.2.3.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.2.3.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.2.3.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.2.3.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.3.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.3.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.3.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 2.2.3.5.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.2.3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.2.3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.2.3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 3

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} = - 1$

ステップ 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 3.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 3.3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f'' (- 3) = \frac{2 (3 {(- 3)}^{2} - 1)}{{({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3) = \frac{2 (3 \cdot 9 - 1)}{{({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$3$ に $9$ をかけます。

$f'' (- 3) = \frac{2 (27 - 1)}{{({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.3

$27$ から $1$ を引きます。

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot 26}{{({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot 26}{{(9 + 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$9$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot 26}{10^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

$10$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot 26}{1000}$

ステップ 5.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2$ に $26$ をかけます。

$f'' (- 3) = \frac{52}{1000}$

ステップ 5.2.3.2

$52$ と $1000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$4$ を $52$ で因数分解します。

$f'' (- 3) = \frac{4 (13)}{1000}$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.2.1

$4$ を $1000$ で因数分解します。

$f'' (- 3) = \frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 250}$

ステップ 5.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 3) = \frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 250}$

ステップ 5.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (- 3) = \frac{13}{250}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $\frac{13}{250}$ です。

$\frac{13}{250}$

ステップ 5.3

$f'' (- 3)$ が正なので、区間 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 1)}{{({(0)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.3

$0$ から $1$ を引きます。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{1^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{1}$

ステップ 6.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{- 2}{1}$

ステップ 6.2.3.2

$- 2$ を $1$ で割ります。

$f'' (0) = - 2$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 6.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f'' (3) = \frac{2 (3 {(3)}^{2} - 1)}{{({(3)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

指数を足して $3$ に ${(3)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$3$ に ${(3)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$f'' (3) = \frac{2 (3 {(3)}^{2} - 1)}{{({(3)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (3) = \frac{2 (3^{1 + 2} - 1)}{{({(3)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (3) = \frac{2 (3^{3} - 1)}{{({(3)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$3$ を $3$ 乗します。

$f'' (3) = \frac{2 (27 - 1)}{{(3^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$27$ から $1$ を引きます。

$f'' (3) = \frac{2 \cdot 26}{{(3^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (3) = \frac{2 \cdot 26}{{(9 + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.3.2

$9$ と $1$ をたし算します。

$f'' (3) = \frac{2 \cdot 26}{10^{3}}$

ステップ 7.2.3.3

$10$ を $3$ 乗します。

$f'' (3) = \frac{2 \cdot 26}{1000}$

ステップ 7.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

$2$ に $26$ をかけます。

$f'' (3) = \frac{52}{1000}$

ステップ 7.2.4.2

$52$ と $1000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.1

$4$ を $52$ で因数分解します。

$f'' (3) = \frac{4 (13)}{1000}$

ステップ 7.2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.2.1

$4$ を $1000$ で因数分解します。

$f'' (3) = \frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 250}$

ステップ 7.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (3) = \frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 250}$

ステップ 7.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (3) = \frac{13}{250}$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは $\frac{13}{250}$ です。

$\frac{13}{250}$

ステップ 7.3

$f'' (3)$ が正なので、区間 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例