微分積分例

$f (x) = 7 x + 5 x^{- 1}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $7 x + 5 x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ です。

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [7 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$7$ に $1$ をかけます。

$7 + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{- 1}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ です。

$7 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 + 5 (- x^{- 2})$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$7 - 5 x^{- 2}$

ステップ 1.1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 5 x^{- 2} + 7$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $- 5 x^{- 2} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{- 2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ です。

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.2.2.3

$- 2$ に $- 5$ をかけます。

$10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.2.3

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$10 x^{- 3} + 0$

ステップ 1.1.2.4

簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.1

$10 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$10 x^{- 3}$

ステップ 1.1.2.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$10 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 1.1.2.4.3

$10$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{10}{x^{3}}$ です。

$\frac{10}{x^{3}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{10}{x^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{10}{x^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$10 = 0$

ステップ 1.2.3

$10 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

$f (x) = 7 x + 5 x^{- 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

$x^{- 1}$ の底辺を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = \frac{10}{{(- 2)}^{3}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{10}{- 8}$

ステップ 4.2.2

$10$ と $- 8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$f'' (- 2) = \frac{2 (5)}{- 8}$

ステップ 4.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 4}$

ステップ 4.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 4}$

ステップ 4.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (- 2) = \frac{5}{- 4}$

ステップ 4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 2) = - \frac{5}{4}$

ステップ 4.2.4

最終的な答えは $- \frac{5}{4}$ です。

$- \frac{5}{4}$

ステップ 4.3

$f'' (- 2)$ が負なので、区間 $(- \infty, 0)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = \frac{10}{{(2)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{10}{8}$

ステップ 5.2.2

$10$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$f'' (2) = \frac{2 (5)}{8}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

ステップ 5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

ステップ 5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (2) = \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $\frac{5}{4}$ です。

$\frac{5}{4}$

ステップ 5.3

$f'' (2)$ が正なので、区間 $(0, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例