微分積分例

$f (x) = x {(6 - x)}^{2}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

${(6 - x)}^{2}$ を $(6 - x) (6 - x)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x ((6 - x) (6 - x)))$

ステップ 1.1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(6 - x) (6 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (6 (6 - x) - x (6 - x)))$

ステップ 1.1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)))$

ステップ 1.1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)))$

ステップ 1.1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1.1

$6$ に $6$ をかけます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)))$

ステップ 1.1.1.3.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)))$

ステップ 1.1.1.3.1.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)))$

ステップ 1.1.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)))$

ステップ 1.1.1.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))))$

ステップ 1.1.1.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})))$

ステップ 1.1.1.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}))$

ステップ 1.1.1.3.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}))$

ステップ 1.1.1.3.2

$- 6 x$ から $6 x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 12 x + x^{2}))$

ステップ 1.1.1.4

$f (x) = x$ および $g (x) = 36 - 12 x + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (36 - 12 x + x^{2}) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.1.5

微分します。

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ステップ 1.1.1.5.1

総和則では、 $36 - 12 x + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (36) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.1.5.2

$36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = x (0 + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.1.5.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ をたし算します。

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.1.5.4

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = x (- 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.1.5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (- 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.1.5.6

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x (- 12 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.1.5.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (- 12 + 2 x) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.1.5.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (- 12 + 2 x) + (36 - 12 x + x^{2}) \cdot 1$

ステップ 1.1.1.5.9

$36 - 12 x + x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x (- 12 + 2 x) + 36 - 12 x + x^{2}$

ステップ 1.1.1.6

簡約します。

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ステップ 1.1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = x \cdot - 12 + x (2 x) + 36 - 12 x + x^{2}$

ステップ 1.1.1.6.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.1.6.2.1

$- 12$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = - 12 \cdot x + x (2 x) + 36 - 12 x + x^{2}$

ステップ 1.1.1.6.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = - 12 x + 2 (x \cdot x) + 36 - 12 x + x^{2}$

ステップ 1.1.1.6.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = - 12 x + 2 (x \cdot x) + 36 - 12 x + x^{2}$

ステップ 1.1.1.6.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = - 12 x + 2 x^{1 + 1} + 36 - 12 x + x^{2}$

ステップ 1.1.1.6.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = - 12 x + 2 x^{2} + 36 - 12 x + x^{2}$

ステップ 1.1.1.6.2.6

$- 12 x$ から $12 x$ を引きます。

$f' (x) = - 24 x + 2 x^{2} + 36 + x^{2}$

ステップ 1.1.1.6.2.7

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = - 24 x + 3 x^{2} + 36$

ステップ 1.1.1.6.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 36$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 24 x + 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [36]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

ステップ 1.1.2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (36)$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (36)$

ステップ 1.1.2.3.3

$- 24$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 24 + \frac{d}{d x} (36)$

ステップ 1.1.2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.4.1

$36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x - 24 + 0$

ステップ 1.1.2.4.2

$6 x - 24$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x - 24$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $6 x - 24$ です。

$6 x - 24$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x - 24 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x - 24 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $24$ を足します。

$6 x = 24$

ステップ 1.2.3

$6 x = 24$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$6 x = 24$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{24}{6}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$24$ を $6$ で割ります。

$x = 4$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 4)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 6 (0) - 24$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$6$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 24$

ステップ 4.2.2

$0$ から $24$ を引きます。

$f'' (0) = - 24$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 24$ です。

$- 24$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- \infty, 4)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 4)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(4, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f'' (6) = 6 (6) - 24$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$6$ に $6$ をかけます。

$f'' (6) = 36 - 24$

ステップ 5.2.2

$36$ から $24$ を引きます。

$f'' (6) = 12$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $12$ です。

$12$

ステップ 5.3

$f'' (6)$ が正なので、区間 $(4, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(4, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 4)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(4, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例