微分積分例

$f (x) = x + 3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x + 3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ です。

$f' (x) = 1 + 3 \frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.1.2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x$ とします。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (1 - x))$

ステップ 1.1.1.2.2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x))$

ステップ 1.1.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x))$

ステップ 1.1.1.2.3

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x))))$

ステップ 1.1.1.2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x))))$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x)))$

ステップ 1.1.1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))$

ステップ 1.1.1.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

ステップ 1.1.1.2.8

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

ステップ 1.1.1.2.9

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

ステップ 1.1.1.2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.10.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

ステップ 1.1.1.2.10.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{- 2}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

ステップ 1.1.1.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

ステップ 1.1.1.2.12

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} (0 - 1)))$

ステップ 1.1.1.2.13

$0$ から $1$ を引きます。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1)$

ステップ 1.1.1.2.14

$\frac{1}{3}$ と ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1)$

ステップ 1.1.1.2.15

$\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3})$

ステップ 1.1.1.2.16

$- 1$ を ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ の左に移動させます。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 1.1.1.2.17

$- 1 {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ を $- {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{- {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 1.1.1.2.18

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{- 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 1.1.1.2.19

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 1 + 3 (- \frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 1.1.1.2.20

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 1 - 3 \frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.1.2.21

$- 3$ と $\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$f' (x) = 1 + \frac{- 3}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.1.2.22

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.1.2.23

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.23.1

$3$ を $3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 ({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 1.1.1.2.23.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.1.2.23.3

式を書き換えます。

$f' (x) = 1 + \frac{- 1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.1.2.24

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 1 - \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

総和則では、 $1 - \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 1.1.2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.2.2

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ を ${({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ とします。

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.2.4

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 - x$ とします。

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (1 - x))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.2.4.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.2.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot {(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.2.5

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x))))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.2.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x))))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.2.7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.2.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.10

${({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.10.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.10.2

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.10.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.10.2.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.10.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.11

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.12

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.13

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.14.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.14.2

$2$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{- 1}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.15

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.16

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.17

$0$ から $1$ を引きます。

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 1)) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.18

$\frac{2}{3}$ と ${(1 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2 {(1 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot - 1)) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.19

$\frac{2 {(1 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2 {(1 - x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 1}{3}) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.20

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{- 2 {(1 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.21

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{- 2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.22

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.23

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - (1 {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.24

${(1 - x)}^{- \frac{4}{3}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - ({(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.25

${(1 - x)}^{- \frac{4}{3}}$ と $\frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 - \frac{{(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} \cdot 2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.26

$2$ を ${(1 - x)}^{- \frac{4}{3}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 0 - \frac{2 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}}}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.27

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x)}^{- \frac{4}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.28

指数を足して ${(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ に ${(1 - x)}^{\frac{4}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.28.1

${(1 - x)}^{\frac{4}{3}}$ を移動させます。

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 ({(1 - x)}^{\frac{4}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.28.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.28.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{4 + 1}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.28.4

$4$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.2.29

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

ステップ 1.1.2.2.30

$- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 1.1.2.3

$0$ から $\frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ です。

$- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 1.2.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

$f (x) = x + 3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$x + 3 \sqrt[3]{{(1 - x)}^{1}}$

ステップ 2.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$x + 3 \sqrt[3]{1 - x}$

ステップ 2.2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が負なので、グラフは下に凹です。

グラフは下に凹です。

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例