微分積分例

$y = x^{4} \ln (x)$

ステップ 1

$y = x^{4} \ln (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{4} \ln (x)$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

ステップ 2.1.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f' (x) = x^{4} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

ステップ 2.1.1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$x^{4}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

ステップ 2.1.1.3.2

$x^{4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

ステップ 2.1.1.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

ステップ 2.1.1.3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

ステップ 2.1.1.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

ステップ 2.1.1.3.2.2.4

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

ステップ 2.1.1.3.2.2.5

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

ステップ 2.1.1.3.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{3} + \ln (x) (4 x^{3})$

ステップ 2.1.1.3.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

総和則では、 $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

ステップ 2.1.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3} \ln (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} \ln (x))$

ステップ 2.1.2.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

ステップ 2.1.2.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

ステップ 2.1.2.2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.1.2.2.5

$x^{3}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.1.2.2.6

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.6.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.1.2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.1.2.2.6.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.1.2.2.6.2.3

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.1.2.2.6.2.4

式を書き換えます。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.1.2.2.6.2.5

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.1.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 4 (\ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.1.2.3.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.2.1

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 12 (\ln (x) (x^{2}))$

ステップ 2.1.2.3.2.2

$3 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 \ln (x) x^{2}$

ステップ 2.1.2.3.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$ です。

$7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x) = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の両辺から $7 x^{2}$ を引きます。

$12 x^{2} \ln (x) = - 7 x^{2}$

ステップ 2.2.3

$12 x^{2} \ln (x) = - 7 x^{2}$ の各項を $12 x^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$12 x^{2} \ln (x) = - 7 x^{2}$ の各項を $12 x^{2}$ で割ります。

$\frac{12 x^{2} \ln (x)}{12 x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

ステップ 2.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 x^{2} \ln (x)}{12 x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

ステップ 2.2.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

ステップ 2.2.3.2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

ステップ 2.2.3.2.2.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

ステップ 2.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\ln (x) = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.2

式を書き換えます。

$\ln (x) = \frac{- 7}{12}$

ステップ 2.2.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (x) = - \frac{7}{12}$

ステップ 2.2.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{7}{12}}$

ステップ 2.2.5

対数の定義を利用して $\ln (x) = - \frac{7}{12}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{7}{12}} = x$

ステップ 2.2.6

$x$ について解きます。

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ステップ 2.2.6.1

方程式を $x = e^{- \frac{7}{12}}$ として書き換えます。

$x = e^{- \frac{7}{12}}$

ステップ 2.2.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x = \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}$

ステップ 3

$f (x) = x^{4} \ln (x)$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x > 0$

ステップ 3.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0.28$ で置換えます。

$f'' (0.28) = 7 {(0.28)}^{2} + 12 {(0.28)}^{2} \ln (0.28)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$0.28$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.28) = 7 \cdot 0.0784 + 12 {(0.28)}^{2} \ln (0.28)$

ステップ 5.2.1.2

$7$ に $0.0784$ をかけます。

$f'' (0.28) = 0.5488 + 12 {(0.28)}^{2} \ln (0.28)$

ステップ 5.2.1.3

$0.28$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.28) = 0.5488 + 12 \cdot (0.0784 \ln (0.28))$

ステップ 5.2.1.4

$12$ に $0.0784$ をかけます。

$f'' (0.28) = 0.5488 + 0.9408 \ln (0.28)$

ステップ 5.2.1.5

対数の中の $0.9408$ を移動させて $0.9408 \ln (0.28)$ を簡約します。

$f'' (0.28) = 0.5488 + \ln ({0.28}^{0.9408})$

ステップ 5.2.1.6

$0.28$ を $0.9408$ 乗します。

$f'' (0.28) = 0.5488 + \ln (0.3019161)$

ステップ 5.2.2

$0.5488$ と $\ln (0.3019161)$ をたし算します。

$f'' (0.28) = - 0.6488061$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 0.6488061$ です。

$- 0.6488061$

ステップ 5.3

$f'' (0.28)$ が負なので、区間 $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f'' (3) = 7 {(3)}^{2} + 12 {(3)}^{2} \ln (3)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (3) = 7 \cdot 9 + 12 {(3)}^{2} \ln (3)$

ステップ 6.2.1.2

$7$ に $9$ をかけます。

$f'' (3) = 63 + 12 {(3)}^{2} \ln (3)$

ステップ 6.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (3) = 63 + 12 \cdot (9 \ln (3))$

ステップ 6.2.1.4

$12$ に $9$ をかけます。

$f'' (3) = 63 + 108 \ln (3)$

ステップ 6.2.1.5

対数の中の $108$ を移動させて $108 \ln (3)$ を簡約します。

$f'' (3) = 63 + \ln (3^{108})$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $63 + \ln (3^{108})$ です。

$63 + \ln (3^{108})$

ステップ 6.3

$f'' (3)$ が正なので、区間 $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例