微分積分例

$y = x - \sin (x)$

ステップ 1

$y = x - \sin (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x - \sin (x)$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1.1

総和則では、 $x - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 2.1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.1.1.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f' (x) = 1 - \cos (x)$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 2.1.2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.1.2.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$0 - - \sin (x)$

ステップ 2.1.2.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 1 \sin (x)$

ステップ 2.1.2.2.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$0 + \sin (x)$

ステップ 2.1.2.3

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$f'' (x) = \sin (x)$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\sin (x)$ です。

$\sin (x)$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.2.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 2.2.5

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 2.2.6

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.2.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.2.8

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \sin (0)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f'' (0) = 0$

ステップ 5.2.2

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例