微分積分例

$y = x {(x - 4)}^{3}$

ステップ 1

$y = x {(x - 4)}^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = x {(x - 4)}^{3}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 4$ とします。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.3.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.3.4.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

ステップ 2.1.1.3.6

${(x - 4)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

ステップ 2.1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.1

${(x - 4)}^{2}$ を $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.1.1

${(x - 4)}^{2}$ を $x (3 {(x - 4)}^{2})$ で因数分解します。

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

ステップ 2.1.1.4.1.2

${(x - 4)}^{2}$ を ${(x - 4)}^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

ステップ 2.1.1.4.1.3

${(x - 4)}^{2}$ を ${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ で因数分解します。

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

ステップ 2.1.1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.2.1

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

ステップ 2.1.1.4.2.2

$3 x$ と $x$ をたし算します。

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

ステップ 2.1.1.4.3

${(x - 4)}^{2}$ を $(x - 4) (x - 4)$ に書き換えます。

$f' (x) = (x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

ステップ 2.1.1.4.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.4.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

ステップ 2.1.1.4.4.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

ステップ 2.1.1.4.4.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

ステップ 2.1.1.4.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.5.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

ステップ 2.1.1.4.5.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

ステップ 2.1.1.4.5.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

ステップ 2.1.1.4.5.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$f' (x) = (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

ステップ 2.1.1.4.6

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ を展開します。

$f' (x) = x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 2.1.1.4.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.7.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = 4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 2.1.1.4.7.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.7.2.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 2.1.1.4.7.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.7.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 2.1.1.4.7.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 2.1.1.4.7.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 2.1.1.4.7.3

$- 4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 2.1.1.4.7.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 2.1.1.4.7.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.7.5.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 2.1.1.4.7.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 2.1.1.4.7.6

$- 8$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 2.1.1.4.7.7

$- 4$ に $- 8$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 2.1.1.4.7.8

$4$ に $16$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

ステップ 2.1.1.4.7.9

$16$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

ステップ 2.1.1.4.8

$- 4 x^{2}$ から $32 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

ステップ 2.1.1.4.9

$32 x$ と $64 x$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.1.2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x^{2}$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.1.2.3.3

$2$ に $- 36$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.1.2.4

$\frac{d}{d x} [96 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$96$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $96 x$ の微分係数は $96 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.1.2.4.3

$96$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.1.2.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

$- 64$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 64$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

ステップ 2.1.2.5.2

$12 x^{2} - 72 x + 96$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x^{2} - 72 x + 96$ です。

$12 x^{2} - 72 x + 96$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 72 x + 96 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 72 x + 96 = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$12$ を $12 x^{2} - 72 x + 96$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$12$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 (x^{2}) - 72 x + 96 = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

$12$ を $- 72 x$ で因数分解します。

$12 (x^{2}) + 12 (- 6 x) + 96 = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

$12$ を $96$ で因数分解します。

$12 x^{2} + 12 (- 6 x) + 12 \cdot 8 = 0$

ステップ 2.2.2.1.4

$12$ を $12 x^{2} + 12 (- 6 x)$ で因数分解します。

$12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 8 = 0$

ステップ 2.2.2.1.5

$12$ を $12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 8$ で因数分解します。

$12 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

ステップ 2.2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x + 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $8$ で、その和が $- 6$ です。

$- 4, - 2$

ステップ 2.2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$12 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

ステップ 2.2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$12 (x - 4) (x - 2) = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.2.4

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.2.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.2.6

最終解は $12 (x - 4) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, 2$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 72 \cdot 0 + 96$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 72 \cdot 0 + 96$

ステップ 5.2.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 72 \cdot 0 + 96$

ステップ 5.2.1.3

$- 72$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 0 + 96$

ステップ 5.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = 0 + 96$

ステップ 5.2.2.2

$0$ と $96$ をたし算します。

$f'' (0) = 96$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $96$ です。

$96$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, 2)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 2)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(2, 4)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f'' (3) = 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3 + 96$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (3) = 12 \cdot 9 - 72 \cdot 3 + 96$

ステップ 6.2.1.2

$12$ に $9$ をかけます。

$f'' (3) = 108 - 72 \cdot 3 + 96$

ステップ 6.2.1.3

$- 72$ に $3$ をかけます。

$f'' (3) = 108 - 216 + 96$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$108$ から $216$ を引きます。

$f'' (3) = - 108 + 96$

ステップ 6.2.2.2

$- 108$ と $96$ をたし算します。

$f'' (3) = - 12$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 12$ です。

$- 12$

ステップ 6.3

$f'' (3)$ が負なので、区間 $(2, 4)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(2, 4)$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(4, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f'' (6) = 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 96$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$f'' (6) = 12 \cdot 36 - 72 \cdot 6 + 96$

ステップ 7.2.1.2

$12$ に $36$ をかけます。

$f'' (6) = 432 - 72 \cdot 6 + 96$

ステップ 7.2.1.3

$- 72$ に $6$ をかけます。

$f'' (6) = 432 - 432 + 96$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$432$ から $432$ を引きます。

$f'' (6) = 0 + 96$

ステップ 7.2.2.2

$0$ と $96$ をたし算します。

$f'' (6) = 96$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $96$ です。

$96$

ステップ 7.3

$f'' (6)$ が正なので、区間 $(4, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(4, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 2)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(2, 4)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(4, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例