微分積分例

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $[- 1, 8]$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ が連続関数か確認します。

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ステップ 2.1

関数が $[- 1, 8]$ で連続か求めるために、 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\sqrt[3]{x^{2}}$

ステップ 2.1.2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[- 1, 8]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 3.1.1

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

ステップ 3.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 3.1.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

ステップ 3.1.5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

ステップ 3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

ステップ 3.1.7

簡約します。

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ステップ 3.1.7.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 3.1.7.2

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ です。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4

微分係数が $(- 1, 8)$ 上で連続か求めます。

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ステップ 4.1

関数が $(- 1, 8)$ で連続か求めるために、 $f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.1.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 4.1.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

ステップ 4.1.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

ステップ 4.1.2

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

ステップ 4.1.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 4.1.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.1.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 4.1.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 4.1.3.2.2.1.1

積の法則を $3 x^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 4.1.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 4.1.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 4.1.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 4.1.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 x^{1} = 0^{3}$

ステップ 4.1.3.2.2.1.4

簡約します。

$27 x = 0^{3}$

ステップ 4.1.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$27 x = 0$

ステップ 4.1.3.3

$27 x = 0$ の各項を $27$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1.3.3.1

$27 x = 0$ の各項を $27$ で割ります。

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 4.1.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1.3.3.2.1

$27$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 4.1.3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{27}$

ステップ 4.1.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1.3.3.3.1

$0$ を $27$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 4.1.4

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 4.2

$0$ が $f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ の定義域にないため、 $f' (x)$ は $(- 1, 8)$ の連続ではありません。

関数は連続ではありません。

ステップ 5

微分係数 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ が $(- 1, 8)$ で連続ではないので、関数は $(- 1, 8)$ で微分可能ではありません。

関数は微分可能ではありません。

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例