微分積分例

$f (x) = x^{3} + x - 1$ , $(0, 2)$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = x^{3} + x - 1$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[0, 2]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $x^{3} + x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 1 + 0$

ステップ 3.1.5

$3 x^{2} + 1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 1$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + 1$ です。

$3 x^{2} + 1$

ステップ 4

微分係数が $(0, 2)$ 上で連続か求めます。

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ステップ 4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $(0, 2)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $(0, 2)$ で連続なので、関数は $(0, 2)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[0, 2]$ で連続し、 $(0, 2)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[0, 2]$ で連続し、 $(0, 2)$ で微分可能です。

ステップ 7

区間 $[0, 2]$ から $f (a)$ の値を求めます。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{3} + 0 - 1$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

括弧を削除します。

$f (0) = {(0)}^{3} + 0 - 1$

ステップ 7.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 - 1$

ステップ 7.2.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 - 1$

ステップ 7.2.4

$0$ から $1$ を引きます。

$f (0) = - 1$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 8

区間 $[0, 2]$ から $f (b)$ の値を求めます。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = {(2)}^{3} + 2 - 1$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

括弧を削除します。

$f (2) = {(2)}^{3} + 2 - 1$

ステップ 8.2.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f (2) = 8 + 2 - 1$

ステップ 8.2.3

$8$ と $2$ をたし算します。

$f (2) = 10 - 1$

ステップ 8.2.4

$10$ から $1$ を引きます。

$f (2) = 9$

ステップ 8.2.5

最終的な答えは $9$ です。

$9$

ステップ 9

$x$ について $3 x^{2} + 1 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $3 x^{2} + 1 = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ です。

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ステップ 9.1

$\frac{(9) - (- 1)}{(2) - (0)}$ を簡約します。

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ステップ 9.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} + 1 = \frac{9 + 1}{2 - (0)}$

ステップ 9.1.1.2

$9$ と $1$ をたし算します。

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2 - (0)}$

ステップ 9.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.1.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2 + 0}$

ステップ 9.1.2.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2}$

ステップ 9.1.3

$10$ を $2$ で割ります。

$3 x^{2} + 1 = 5$

ステップ 9.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 x^{2} = 5 - 1$

ステップ 9.2.2

$5$ から $1$ を引きます。

$3 x^{2} = 4$

ステップ 9.3

$3 x^{2} = 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.3.1

$3 x^{2} = 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 9.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 9.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{4}{3}$

ステップ 9.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

ステップ 9.5

$\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 9.5.1

$\sqrt{\frac{4}{3}}$ を $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

ステップ 9.5.2

分子を簡約します。

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ステップ 9.5.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

ステップ 9.5.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

ステップ 9.5.3

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 9.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.5.4.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 9.5.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 9.5.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 9.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 9.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 9.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 9.5.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 9.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 9.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 9.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 9.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 10

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ において求められた接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ における接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

ステップ 11

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ において求められた接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ における接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例