微分積分例

$f (x) = x^{2} + 1$ , $[5, 11]$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = x^{2} + 1$ が連続関数か確認します。

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ステップ 2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[5, 11]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 3.1.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x$ です。

$2 x$

ステップ 4

微分係数が $(5, 11)$ 上で連続か求めます。

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ステップ 4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $(5, 11)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $(5, 11)$ で連続なので、関数は $(5, 11)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[5, 11]$ で連続し、 $(5, 11)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[5, 11]$ で連続し、 $(5, 11)$ で微分可能です。

ステップ 7

区間 $[5, 11]$ から $f (a)$ の値を求めます。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f (5) = {(5)}^{2} + 1$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$f (5) = 25 + 1$

ステップ 7.2.2

$25$ と $1$ をたし算します。

$f (5) = 26$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $26$ です。

$26$

ステップ 8

区間 $[5, 11]$ から $f (b)$ の値を求めます。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $11$ で置換えます。

$f (11) = {(11)}^{2} + 1$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$11$ を $2$ 乗します。

$f (11) = 121 + 1$

ステップ 8.2.2

$121$ と $1$ をたし算します。

$f (11) = 122$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $122$ です。

$122$

ステップ 9

$x$ について $2 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $2 x = \frac{- (f (11) + f (5))}{- (11 + 5)}$ です。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$- 1$ に $26$ をかけます。

$2 x = \frac{122 - 26}{(11) - (5)}$

ステップ 9.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$2 x = \frac{122 - 26}{11 - 5}$

ステップ 9.1.3

$122$ から $26$ を引きます。

$2 x = \frac{96}{11 - 5}$

ステップ 9.1.4

$11$ から $5$ を引きます。

$2 x = \frac{96}{6}$

ステップ 9.1.5

$96$ を $6$ で割ります。

$2 x = 16$

ステップ 9.2

$2 x = 16$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.2.1

$2 x = 16$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{16}{2}$

ステップ 9.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{16}{2}$

ステップ 9.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{16}{2}$

ステップ 9.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.3.1

$16$ を $2$ で割ります。

$x = 8$

ステップ 10

$x = 8$ において求められた接線があり、端点 $a = 5$ と $b = 11$ を通る線と平行です。

$x = 8$ における接線があり、端点 $a = 5$ と $b = 11$ を通る線と平行です。

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例