微分積分例

$f (x) = \sqrt{x} - \frac{1}{9} x$ , $[0, 81]$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = \sqrt{x} - \frac{1}{9} x$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

関数が $[0, 81]$ で連続か求めるために、 $f (x) = \sqrt{x} - \frac{1}{9} x$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.1.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 0}$

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 0}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[0, 81]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

総和則では、 $\sqrt{x} - \frac{1}{9} x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

ステップ 3.1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

ステップ 3.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

ステップ 3.1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

ステップ 3.1.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

ステップ 3.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

ステップ 3.1.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

ステップ 3.1.2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

ステップ 3.1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$- \frac{1}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{9} x$ の微分係数は $- \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{9} \cdot 1$

ステップ 3.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{9}$

ステップ 3.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$

ステップ 3.1.4.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$ です。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$

ステップ 4

微分係数が $(0, 81)$ 上で連続か求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

関数が $(0, 81)$ で連続か求めるために、 $f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}} - \frac{1}{9}$

ステップ 4.1.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{9}$

ステップ 4.1.2

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 4.1.3

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 \sqrt{x} = 0$

ステップ 4.1.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.1.4.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.1.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.2.2.1

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.2.2.1.1

積の法則を $2 x^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.1.4.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.1.4.2.2.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.1.4.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.1.4.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 x^{1} = 0^{2}$

ステップ 4.1.4.2.2.1.4

簡約します。

$4 x = 0^{2}$

ステップ 4.1.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 x = 0$

ステップ 4.1.4.3

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.3.1

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 4.1.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 4.1.4.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{4}$

ステップ 4.1.4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.3.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 4.1.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $(0, 81)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $(0, 81)$ で連続なので、関数は $(0, 81)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[0, 81]$ で連続し、 $(0, 81)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[0, 81]$ で連続し、 $(0, 81)$ で微分可能です。

ステップ 7

区間 $[0, 81]$ から $f (a)$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \sqrt{0} - \frac{1}{9} \cdot 0$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

括弧を削除します。

$f (0) = \sqrt{0} - \frac{1}{9} \cdot 0$

ステップ 7.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$f (0) = \sqrt{0^{2}} - \frac{1}{9} \cdot 0$

ステップ 7.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (0) = 0 - \frac{1}{9} \cdot 0$

ステップ 7.2.2.3

$- \frac{1}{9} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 (\frac{1}{9})$

ステップ 7.2.2.3.2

$0$ に $\frac{1}{9}$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 7.2.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 8

$x$ について $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9} = \frac{- (f (81) + f (0))}{- (81 + 0)}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

方程式の両辺に $\frac{1}{9}$ を足します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{(0) - (0)}{(81) - (0)} + \frac{1}{9}$

ステップ 8.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0 + 0}{(81) - (0)} + \frac{1}{9}$

ステップ 8.1.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{(81) - (0)} + \frac{1}{9}$

ステップ 8.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.4.1

$0$ と $(81) - (0)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.4.1.1

$81$ を $- 1 (- 81)$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{- 1 (- 81) - (0)} + \frac{1}{9}$

ステップ 8.1.4.1.2

$- 1$ を $- 1 (- 81) - (0)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{- 1 (- 81 + 0)} + \frac{1}{9}$

ステップ 8.1.4.1.3

$81$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{81 (0)}{- 1 (- 81 + 0)} + \frac{1}{9}$

ステップ 8.1.4.1.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.4.1.4.1

$81$ を $- 1 (- 81 + 0)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{81 (0)}{81 (- 1 (- 1 + 0))} + \frac{1}{9}$

ステップ 8.1.4.1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{81 \cdot 0}{81 (- 1 (- 1 + 0))} + \frac{1}{9}$

ステップ 8.1.4.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{- 1 (- 1 + 0)} + \frac{1}{9}$

ステップ 8.1.4.2

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{- 1 \cdot - 1} + \frac{1}{9}$

ステップ 8.1.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{1} + \frac{1}{9}$

ステップ 8.1.4.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0 + \frac{1}{9}$

ステップ 8.1.5

$0$ と $\frac{1}{9}$ をたし算します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{9}$

ステップ 8.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 x^{\frac{1}{2}}, 9$

ステップ 8.2.2

$2 x^{\frac{1}{2}}, 9$ には数と変数があるので、最小公倍数を求めるには2段階あります。数値部 $2, 9$ の最小公倍数を求め、次に変数部 $x^{\frac{1}{2}}$ の最小公倍数を求めます。

ステップ 8.2.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 8.2.4

$2$ には、 $1$ と $2$ 以外に因数がないため。

$2$ は素数です

ステップ 8.2.5

$9$ には $3$ と $3$ の因数があります。

$3 \cdot 3$

ステップ 8.2.6

$2, 9$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$2 \cdot 3 \cdot 3$

ステップ 8.2.7

$2 \cdot 3 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.7.1

$2$ に $3$ をかけます。

$6 \cdot 3$

ステップ 8.2.7.2

$6$ に $3$ をかけます。

$18$

ステップ 8.2.8

$x^{\frac{1}{2}}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.2.9

$2 x^{\frac{1}{2}}, 9$ の最小公倍数は数値部分 $18$ に変数部分を掛けたものです。

$18 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.3

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{9}$ の各項に $18 x^{\frac{1}{2}}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{9}$ の各項に $18 x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$18 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.2.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$2 \cdot 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.2.2.3

式を書き換えます。

$9 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.2.3

$9$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.2.4

$x^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.2.4.2

式を書き換えます。

$9 = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1.1

$9$ を $18 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$9 = \frac{1}{9} (9 (2 x^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 8.3.3.1.2

共通因数を約分します。

$9 = \frac{1}{9} (9 (2 x^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 8.3.3.1.3

式を書き換えます。

$9 = 2 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

方程式を $2 x^{\frac{1}{2}} = 9$ として書き換えます。

$2 x^{\frac{1}{2}} = 9$

ステップ 8.4.2

$2 x^{\frac{1}{2}} = 9$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$2 x^{\frac{1}{2}} = 9$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{9}{2}$

ステップ 8.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{9}{2}$

ステップ 8.4.2.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{2}$

ステップ 8.4.3

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{9}{2})}^{2}$

ステップ 8.4.4

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.4.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.4.1.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.4.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9}{2})}^{2}$

ステップ 8.4.4.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.4.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9}{2})}^{2}$

ステップ 8.4.4.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = {(\frac{9}{2})}^{2}$

ステップ 8.4.4.1.1.2

簡約します。

$x = {(\frac{9}{2})}^{2}$

ステップ 8.4.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.4.2.1

${(\frac{9}{2})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.4.2.1.1

積の法則を $\frac{9}{2}$ に当てはめます。

$x = \frac{9^{2}}{2^{2}}$

ステップ 8.4.4.2.1.2

$9$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{81}{2^{2}}$

ステップ 8.4.4.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{81}{4}$

ステップ 9

$x = \frac{81}{4}$ において求められた接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 81$ を通る線と平行です。

$x = \frac{81}{4}$ における接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 81$ を通る線と平行です。

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例