微分積分例

$f (x) = e^{- 2 x}$ , $[0, 2]$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = e^{- 2 x}$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[0, 2]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 3.1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 3.1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 3.1.1.3

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 3.1.2

微分します。

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ステップ 3.1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

ステップ 3.1.2.3

式を簡約します。

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ステップ 3.1.2.3.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$e^{- 2 x} \cdot - 2$

ステップ 3.1.2.3.2

$- 2$ を $e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = - 2 e^{- 2 x}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 e^{- 2 x}$ です。

$- 2 e^{- 2 x}$

ステップ 4

微分係数が $(0, 2)$ 上で連続か求めます。

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ステップ 4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $(0, 2)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $(0, 2)$ で連続なので、関数は $(0, 2)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[0, 2]$ で連続し、 $(0, 2)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[0, 2]$ で連続し、 $(0, 2)$ で微分可能です。

ステップ 7

区間 $[0, 2]$ から $f (a)$ の値を求めます。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = e^{- 2 \cdot 0}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = e^{0}$

ステップ 7.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f (0) = 1$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 8

区間 $[0, 2]$ から $f (b)$ の値を求めます。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = e^{- 2 \cdot 2}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f (2) = e^{- 4}$

ステップ 8.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (2) = \frac{1}{e^{4}}$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{e^{4}}$ です。

$\frac{1}{e^{4}}$

ステップ 9

$x$ について $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ です。

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ステップ 9.1

$\frac{(\frac{1}{e^{4}}) - (1)}{(2) - (0)}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

分数の分子と分母に $e^{4}$ を掛けます。

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ステップ 9.1.1.1

$\frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$ に $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ をかけます。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$

ステップ 9.1.1.2

まとめる。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} (\frac{1}{e^{4}} - (1))}{e^{4} (2 - (0))}$

ステップ 9.1.2

分配則を当てはめます。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

ステップ 9.1.3

$e^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.1

共通因数を約分します。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

ステップ 9.1.3.2

式を書き換えます。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1 + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

ステップ 9.1.4

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

ステップ 9.1.4.2

$e^{4} \cdot (1)$ を ${(e^{2} \cdot 1)}^{2}$ に書き換えます。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} - {(e^{2} \cdot 1)}^{2}}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

ステップ 9.1.4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = e^{2} \cdot 1$ です。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2} \cdot 1) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

ステップ 9.1.4.4

簡約します。

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ステップ 9.1.4.4.1

$e^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

ステップ 9.1.4.4.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - e^{2} \cdot 1)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

ステップ 9.1.4.4.3

$e^{2} \cdot 1$ を ${(e \cdot 1)}^{2}$ に書き換えます。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - {(e \cdot 1)}^{2})}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

ステップ 9.1.4.4.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = e \cdot 1$ です。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e \cdot 1) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

ステップ 9.1.4.4.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.4.4.5.1

$e$ に $1$ をかけます。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

ステップ 9.1.4.4.5.2

$e$ に $1$ をかけます。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - e))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

ステップ 9.1.5

分母を簡約します。

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ステップ 9.1.5.1

$e^{4}$ を $e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))$ で因数分解します。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 - (0))}$

ステップ 9.1.5.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 + 0)}$

ステップ 9.1.5.3

$2$ と $0$ をたし算します。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2}$

ステップ 9.1.6

$2$ を $e^{4}$ の左に移動させます。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$

ステップ 9.2

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.2.1

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

ステップ 9.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

ステップ 9.2.2.1.2

$e^{- 2 x}$ を $1$ で割ります。

$e^{- 2 x} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

ステップ 9.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}} \cdot \frac{1}{- 2}$

ステップ 9.2.3.2

まとめる。

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e) \cdot 1}{2 e^{4} \cdot - 2}$

ステップ 9.2.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.3.1

$1 + e^{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4} \cdot - 2}$

ステップ 9.2.3.3.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{- 4 e^{4}}$

ステップ 9.2.3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

ステップ 9.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$

ステップ 9.4

$\ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 9.5

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$ の解はありません

解がありません

ステップ 10

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例