微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ , $[- 2, 2]$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

関数が $[- 2, 2]$ で連続か求めるために、 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + 6 = 0$

ステップ 2.1.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x^{2} = - 6$

ステップ 2.1.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 6}$

ステップ 2.1.2.3

$\pm \sqrt{- 6}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$- 6$ を $- 1 (6)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

ステップ 2.1.2.3.2

$\sqrt{- 1 (6)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

ステップ 2.1.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{6}$

ステップ 2.1.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{6}$

ステップ 2.1.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{6}$

ステップ 2.1.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

ステップ 2.1.3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[- 2, 2]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.2

$2$ を $x^{2} + 6$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.5

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.6.3.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.6.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.6.3.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.6.3.1.2

$2$ に $6$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.6.3.2

$2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.1.6.3.2.2

$12 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ です。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 4

微分係数が $(- 2, 2)$ 上で連続か求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

関数が $(- 2, 2)$ で連続か求めるために、 $f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x^{2} + 6)}^{2} = 0$

ステップ 4.1.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$x^{2} + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 6 = 0$

ステップ 4.1.2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x^{2} = - 6$

ステップ 4.1.2.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 6}$

ステップ 4.1.2.2.3

$\pm \sqrt{- 6}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.3.1

$- 6$ を $- 1 (6)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

ステップ 4.1.2.2.3.2

$\sqrt{- 1 (6)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

ステップ 4.1.2.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{6}$

ステップ 4.1.2.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{6}$

ステップ 4.1.2.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{6}$

ステップ 4.1.2.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

ステップ 4.1.3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $(- 2, 2)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $(- 2, 2)$ で連続なので、関数は $(- 2, 2)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[- 2, 2]$ で連続し、 $(- 2, 2)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[- 2, 2]$ で連続し、 $(- 2, 2)$ で微分可能です。

ステップ 7

区間 $[- 2, 2]$ から $f (a)$ の値を求めます。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{{(- 2)}^{2} + 6}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{2} + 6}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = \frac{4}{4 + 6}$

ステップ 7.2.2.2

$4$ と $6$ をたし算します。

$f (- 2) = \frac{4}{10}$

ステップ 7.2.3

$4$ と $10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- 2) = \frac{2 (2)}{10}$

ステップ 7.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

ステップ 7.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f (- 2) = \frac{2}{5}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $\frac{2}{5}$ です。

$\frac{2}{5}$

ステップ 8

$x$ について $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (2) + f (- 2))}{- (2 - 2)}$ です。

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ステップ 8.1

各項を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$- 1$ に $\frac{2}{5}$ をかけます。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{2}{5}}{(2) - (- 2)}$

ステップ 8.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 2}{5}}{(2) - (- 2)}$

ステップ 8.1.3

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{0}{5}}{(2) - (- 2)}$

ステップ 8.1.4

$0$ を $5$ で割ります。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{(2) - (- 2)}$

ステップ 8.1.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{2 + 2}$

ステップ 8.1.6

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{4}$

ステップ 8.1.7

$0$ を $4$ で割ります。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$

ステップ 8.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 8.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

${(x^{2} + 6)}^{2}, 1$

ステップ 8.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

${(x^{2} + 6)}^{2}$

ステップ 8.3

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ の各項に ${(x^{2} + 6)}^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 8.3.1

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ の各項に ${(x^{2} + 6)}^{2}$ を掛けます。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

ステップ 8.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

${(x^{2} + 6)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

ステップ 8.3.2.1.2

式を書き換えます。

$12 x = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

ステップ 8.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

$0$ に ${(x^{2} + 6)}^{2}$ をかけます。

$12 x = 0$

ステップ 8.4

$12 x = 0$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$12 x = 0$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

ステップ 8.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

ステップ 8.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{12}$

ステップ 8.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.3.1

$0$ を $12$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 9

$x = 0$ において求められた接線があり、端点 $a = - 2$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

$x = 0$ における接線があり、端点 $a = - 2$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例