微分積分例

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $[0, 7]$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + 2 x$ の微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{2} + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 2 \cdot 1$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 2 x + 2$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x + 2$ です。

$2 x + 2$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

$f' (x)$ は $[0, 7]$ で連続します。

$f' (x)$ は連続します

ステップ 4

関数 $f'$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 5

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} 2 x + 2 d x)$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} 2 d x)$

ステップ 7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 \int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} 2 d x)$

ステップ 8

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 2 d x)$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 2 d x)$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + 2 x]_{0}^{7})$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$7$ および $0$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{7})$

ステップ 11.2

$7$ および $0$ で $2 x$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

$7$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.3

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.3.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.3.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - 0) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} + 0) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.5

$\frac{49}{2}$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.6

$2$ と $\frac{49}{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.7

$2$ に $49$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{98}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.8

$98$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.8.1

$2$ を $98$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.8.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2 (1)} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.8.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{49}{1} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.8.2.4

$49$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.9

$2$ に $7$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14 - 2 \cdot 0)$

ステップ 11.3.10

$- 2$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14 + 0)$

ステップ 11.3.11

$14$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14)$

ステップ 11.3.12

$49$ と $14$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (63)$

ステップ 12

分母を簡約します。

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ステップ 12.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{7 + 0} \cdot 63$

ステップ 12.2

$7$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot 63$

ステップ 13

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1

$7$ を $63$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 (9))$

ステップ 13.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 \cdot 9)$

ステップ 13.3

式を書き換えます。

$A (x) = 9$

ステップ 14

微分積分 例

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