微分積分例

$f (x) = 9 x^{3} + 9$ , $[- 3, 3]$

ステップ 1

$f (x) = 9 x^{3} + 9$ の微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $9 x^{3} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{3}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $9$ をかけます。

$27 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$27 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.3.2

$27 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 27 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $27 x^{2}$ です。

$27 x^{2}$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

$f' (x)$ は $[- 3, 3]$ で連続します。

$f' (x)$ は連続します

ステップ 4

関数 $f'$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 5

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} 27 x^{2} d x)$

ステップ 6

$27$ は $x$ に対して定数なので、 $27$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x)$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}))$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}))$

ステップ 8.2

代入し簡約します。

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ステップ 8.2.1

$3$ および $- 3$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

ステップ 8.2.2

簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$3$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

ステップ 8.2.2.2

$27$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.2.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

ステップ 8.2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

ステップ 8.2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

ステップ 8.2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

ステップ 8.2.2.2.2.4

$9$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

ステップ 8.2.2.3

$- 3$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{- 27}{3}))$

ステップ 8.2.2.4

$- 27$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.4.1

$3$ を $- 27$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}))$

ステップ 8.2.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.4.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}))$

ステップ 8.2.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}))$

ステップ 8.2.2.4.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{- 9}{1}))$

ステップ 8.2.2.4.2.4

$- 9$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 + 9))$

ステップ 8.2.2.5

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 + 9))$

ステップ 8.2.2.6

$9$ と $9$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 \cdot 18)$

ステップ 8.2.2.7

$27$ に $18$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (486)$

ステップ 9

$3$ と $3$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 486$

ステップ 10

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1

$6$ を $486$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (81))$

ステップ 10.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 81)$

ステップ 10.3

式を書き換えます。

$A (x) = 81$

ステップ 11

微分積分 例

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