微分積分例

$y = 3 x^{3} - 2 x$ , $(1, 1)$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = 3 x^{3} - 2 x$ が連続関数か確認します。

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ステップ 2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[1, 1]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $3 x^{3} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 3.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 3.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 3.1.2.3

$3$ に $3$ をかけます。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 x^{2} - 2 \cdot 1$

ステップ 3.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 9 x^{2} - 2$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $9 x^{2} - 2$ です。

$9 x^{2} - 2$

ステップ 4

Find if the derivative is continuous on No solution.

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ステップ 4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $解がありません$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $解がありません$ で連続なので、関数は $解がありません$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[1, 1]$ で連続し、 $解がありません$ で微分可能です。

解がありません

ステップ 7

区間 $[1, 1]$ から $f (a)$ の値を求めます。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = 3 {(1)}^{3} - 2 \cdot 1$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

ステップ 7.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1$

ステップ 7.2.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 3 - 2$

ステップ 7.2.2

$3$ から $2$ を引きます。

$f (1) = 1$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 8

方程式には未定義の分数があります。

未定義

ステップ 9

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例