微分積分例

$y = (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (x^{2} + 1)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (x^{2} + 1))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

ステップ 3.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

ステップ 3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

ステップ 3.2.4.2

$2$ を $\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}$ の左に移動させます。

$2 \cdot (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

ステップ 3.2.5

総和則では、 $\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}]$ です。

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

ステップ 3.2.6

$\frac{1}{3.5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{3.5}$ の微分係数は $\frac{1}{3.5} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

ステップ 3.2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

ステップ 3.2.8

$\frac{1}{3.5}$ に $1$ をかけます。

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

ステップ 3.2.9

$3.5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3.5}{x}$ の微分係数は $3.5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + 3.5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 3.2.10

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + 3.5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

ステップ 3.2.11

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + 3.5 (- x^{- 2}))$

ステップ 3.2.12

$- 1$ に $3.5$ をかけます。

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 x^{- 2})$

ステップ 3.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$(2 \frac{x}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4.2

分配則を当てはめます。

$2 \frac{x}{3.5} x + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4.3

項をまとめます。

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ステップ 3.4.3.1

$2$ と $\frac{x}{3.5}$ をまとめます。

$\frac{2 x}{3.5} x + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4.3.2

$\frac{2 x}{3.5}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x \cdot x}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4.3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x)}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4.3.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 1}}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4.3.7

$2$ と $\frac{3.5}{x}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{2 \cdot 3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4.3.8

$2$ に $3.5$ をかけます。

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{7}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4.3.9

$\frac{7}{x}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{7 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4.3.10

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.3.10.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{7 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4.3.10.2

$7$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 7 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4.3.11

$- 3.5$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 7 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + \frac{- 3.5}{x^{2}})$

ステップ 3.4.3.12

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 7 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}})$

ステップ 3.4.4

項を並べ替えます。

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}}) + 7$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{2 x^{2}}{3.5} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}}) + 7$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2}}{3.5} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}}) + 7$

微分積分 例

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