微分積分例

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ , $[1, 2]$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[1, 2]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 3.1.1

微分します。

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ステップ 3.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 3 x^{3} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{3}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.1.2.3

$3$ に $- 3$ をかけます。

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1.3.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 0$

ステップ 3.1.3.2

$4 x^{3} - 9 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 9 x^{2}$ です。

$4 x^{3} - 9 x^{2}$

ステップ 4

微分係数が $(1, 2)$ 上で連続か求めます。

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ステップ 4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $(1, 2)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $(1, 2)$ で連続なので、関数は $(1, 2)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[1, 2]$ で連続し、 $(1, 2)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[1, 2]$ で連続し、 $(1, 2)$ で微分可能です。

ステップ 7

区間 $[1, 2]$ から $f (a)$ の値を求めます。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{4} - 3 {(1)}^{3} + 4$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 3 {(1)}^{3} + 4$

ステップ 7.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + 4$

ステップ 7.2.1.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 3 + 4$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$1$ から $3$ を引きます。

$f (1) = - 2 + 4$

ステップ 7.2.2.2

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$f (1) = 2$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 8

区間 $[1, 2]$ から $f (b)$ の値を求めます。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{3} + 4$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$f (2) = 16 - 3 {(2)}^{3} + 4$

ステップ 8.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f (2) = 16 - 3 \cdot 8 + 4$

ステップ 8.2.1.3

$- 3$ に $8$ をかけます。

$f (2) = 16 - 24 + 4$

ステップ 8.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$16$ から $24$ を引きます。

$f (2) = - 8 + 4$

ステップ 8.2.2.2

$- 8$ と $4$ をたし算します。

$f (2) = - 4$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 4$ です。

$- 4$

ステップ 9

$x$ について $4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- (f (2) + f (1))}{- (2 + 1)}$ です。

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ステップ 9.1

$\frac{(- 4) - (2)}{(2) - (1)}$ を簡約します。

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ステップ 9.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 4 - 2}{2 - (1)}$

ステップ 9.1.1.2

$- 4$ から $2$ を引きます。

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 6}{2 - (1)}$

ステップ 9.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 6}{2 - 1}$

ステップ 9.1.2.2

$2$ から $1$ を引きます。

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 6}{1}$

ステップ 9.1.3

$- 6$ を $1$ で割ります。

$4 x^{3} - 9 x^{2} = - 6$

ステップ 9.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx - 0.711668, 1.18903787, 1.77263012$

ステップ 10

$x = - 0.711668$ において求められた接線があり、端点 $a = 1$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

$x = - 0.711668$ における接線があり、端点 $a = 1$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

ステップ 11

$x = 1.18903787$ において求められた接線があり、端点 $a = 1$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

$x = 1.18903787$ における接線があり、端点 $a = 1$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

ステップ 12

$x = 1.77263012$ において求められた接線があり、端点 $a = 1$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

$x = 1.77263012$ における接線があり、端点 $a = 1$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例