微分積分例

$y = 9 - x^{2}$ , $[- 3, 3]$

ステップ 1

$9$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$y = - x^{2} + 9$

ステップ 2

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 3

$f (x) = - x^{2} + 9$ が連続関数か確認します。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3.2

$f (x)$ は $[- 3, 3]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 4

微分係数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $- x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.3.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 x + 0$

ステップ 4.1.3.2

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 2 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 x$ です。

$- 2 x$

ステップ 5

微分係数が $(- 3, 3)$ 上で連続か求めます。

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ステップ 5.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 5.2

$f' (x)$ は $(- 3, 3)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 6

微分係数が $(- 3, 3)$ で連続なので、関数は $(- 3, 3)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 7

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[- 3, 3]$ で連続し、 $(- 3, 3)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[- 3, 3]$ で連続し、 $(- 3, 3)$ で微分可能です。

ステップ 8

区間 $[- 3, 3]$ から $f (a)$ の値を求めます。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = - {(- 3)}^{2} + 9$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 + 9$

ステップ 8.2.1.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$f (- 3) = - 9 + 9$

ステップ 8.2.2

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$f (- 3) = 0$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 9

$x$ について $- 2 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $- 2 x = \frac{- (f (3) + f (- 3))}{- (3 - 3)}$ です。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 2 x = \frac{0 + 0}{(3) - (- 3)}$

ステップ 9.1.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$- 2 x = \frac{0 + 0}{3 + 3}$

ステップ 9.1.3

今日数因数で約分することで式 $\frac{0 + 0}{3 + 3}$ を約分します。

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ステップ 9.1.3.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$- 2 x = \frac{3 (0) + 0}{3 + 3}$

ステップ 9.1.3.2

$3$ を $0$ で因数分解します。

$- 2 x = \frac{3 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{3 + 3}$

ステップ 9.1.3.3

$3$ を $3 \cdot 0 + 3 \cdot 0$ で因数分解します。

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 + 3}$

ステップ 9.1.3.4

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 (1) + 3}$

ステップ 9.1.3.5

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1}$

ステップ 9.1.3.6

$3$ を $3 \cdot 1 + 3 \cdot 1$ で因数分解します。

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 \cdot (1 + 1)}$

ステップ 9.1.3.7

共通因数を約分します。

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 \cdot (1 + 1)}$

ステップ 9.1.3.8

式を書き換えます。

$- 2 x = \frac{0 + 0}{1 + 1}$

ステップ 9.1.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$- 2 x = \frac{0}{1 + 1}$

ステップ 9.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 x = \frac{0}{2}$

ステップ 9.1.6

$0$ を $2$ で割ります。

$- 2 x = 0$

ステップ 9.2

$- 2 x = 0$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.2.1

$- 2 x = 0$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

ステップ 9.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

ステップ 9.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{- 2}$

ステップ 9.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.3.1

$0$ を $- 2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 10

$x = 0$ において求められた接線があり、端点 $a = - 3$ と $b = 3$ を通る線と平行です。

$x = 0$ における接線があり、端点 $a = - 3$ と $b = 3$ を通る線と平行です。

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例