微分積分例

$y = x^{3} - 12 x$ , $(1, - 12)$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = x^{3} - 12 x$ が連続関数か確認します。

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ステップ 2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $解がありません$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 3.1.1

微分します。

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ステップ 3.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 12 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 3.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 3.1.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 12 \cdot 1$

ステップ 3.1.2.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 12$ です。

$3 x^{2} - 12$

ステップ 4

Find if the derivative is continuous on No solution.

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ステップ 4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $解がありません$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $解がありません$ で連続なので、関数は $解がありません$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $解がありません$ で連続し、 $解がありません$ で微分可能です。

解がありません

ステップ 7

解なしの区間から $f (a)$ の値を求めます。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{3} - 12 \cdot 1$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 12 \cdot 1$

ステップ 7.2.1.2

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 12$

ステップ 7.2.2

$1$ から $12$ を引きます。

$f (1) = - 11$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 11$ です。

$- 11$

ステップ 8

解なしの区間から $f (b)$ の値を求めます。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $- 12$ で置換えます。

$f (- 12) = {(- 12)}^{3} - 12 \cdot - 12$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$- 12$ を $3$ 乗します。

$f (- 12) = - 1728 - 12 \cdot - 12$

ステップ 8.2.1.2

$- 12$ に $- 12$ をかけます。

$f (- 12) = - 1728 + 144$

ステップ 8.2.2

$- 1728$ と $144$ をたし算します。

$f (- 12) = - 1584$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 1584$ です。

$- 1584$

ステップ 9

$x$ について $3 x^{2} - 12 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $3 x^{2} - 12 = \frac{- (f (- 12) + f (1))}{- (- 12 + 1)}$ です。

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ステップ 9.1

$\frac{(- 1584) - (- 11)}{(- 12) - (1)}$ を簡約します。

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ステップ 9.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1.1

$- 1$ に $- 11$ をかけます。

$3 x^{2} - 12 = \frac{- 1584 + 11}{- 12 - (1)}$

ステップ 9.1.1.2

$- 1584$ と $11$ をたし算します。

$3 x^{2} - 12 = \frac{- 1573}{- 12 - (1)}$

ステップ 9.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 12 = \frac{- 1573}{- 12 - 1}$

ステップ 9.1.2.2

$- 12$ から $1$ を引きます。

$3 x^{2} - 12 = \frac{- 1573}{- 13}$

ステップ 9.1.3

$- 1573$ を $- 13$ で割ります。

$3 x^{2} - 12 = 121$

ステップ 9.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.2.1

方程式の両辺に $12$ を足します。

$3 x^{2} = 121 + 12$

ステップ 9.2.2

$121$ と $12$ をたし算します。

$3 x^{2} = 133$

ステップ 9.3

$3 x^{2} = 133$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.3.1

$3 x^{2} = 133$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{133}{3}$

ステップ 9.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{133}{3}$

ステップ 9.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{133}{3}$

ステップ 9.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{133}{3}}$

ステップ 9.5

$\pm \sqrt{\frac{133}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 9.5.1

$\sqrt{\frac{133}{3}}$ を $\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{133}}{\sqrt{3}}$

ステップ 9.5.2

$\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{133}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 9.5.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.5.3.1

$\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 9.5.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 9.5.3.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 9.5.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.5.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 9.5.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 9.5.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.5.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.5.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.5.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.5.3.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 9.5.3.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{3}$

ステップ 9.5.4

分子を簡約します。

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ステップ 9.5.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{133 \cdot 3}}{3}$

ステップ 9.5.4.2

$133$ に $3$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{399}}{3}$

ステップ 9.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 9.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{399}}{3}$

ステップ 9.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{399}}{3}$

ステップ 9.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{399}}{3}, - \frac{\sqrt{399}}{3}$

ステップ 10

$x = \frac{\sqrt{399}}{3}$ において求められた接線があり、端点 $a = 1$ と $b = - 12$ を通る線と平行です。

$x = \frac{\sqrt{399}}{3}$ における接線があり、端点 $a = 1$ と $b = - 12$ を通る線と平行です。

ステップ 11

$x = - \frac{\sqrt{399}}{3}$ において求められた接線があり、端点 $a = 1$ と $b = - 12$ を通る線と平行です。

$x = - \frac{\sqrt{399}}{3}$ における接線があり、端点 $a = 1$ と $b = - 12$ を通る線と平行です。

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例