微分積分例

$y = 8 \sqrt{x}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = 8 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 4.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 4.7

分数の前に負数を移動させます。

$8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 4.8

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 4.9

$8$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 4.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.11

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.12

共通因数を約分します。

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ステップ 4.12.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 4.12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.12.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例