微分積分例

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{2} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$3$ を $x^{2} + 5$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} + 5) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.5

$1$ と $3$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot 5) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.2

$3$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 15 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.2

$3 x^{4}$ から $2 x^{4}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{x^{4} + 15 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.4

$x^{2}$ を $x^{4} + 15 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.4.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + 15 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.4.2

$x^{2}$ を $15 x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.4.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 15$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$f (x) = x^{2} (x^{2} + 15)$ および $g (x) = {(x^{2} + 5)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.2.2

${({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 15$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 15) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

総和則では、 $x^{2} + 15$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (15)) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.4.3

$15$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $15$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.4.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{3} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.6

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 \cdot x^{3} + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + (x^{2} + 15) (2 x)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.6.3

$2$ を $x^{2} + 15$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} + 15) x)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.7

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 5$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.7.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 5$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.8

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.8.2

$x^{2} + 5$ を ${(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.2.1

$x^{2} + 5$ を ${(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.8.2.2

$x^{2} + 5$ を $- 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) + (x^{2} + 5) (- 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.8.2.3

$x^{2} + 5$ を $(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) + (x^{2} + 5) (- 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 1.2.9

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1

$x^{2} + 5$ を ${(x^{2} + 5)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.9.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.9.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.10

総和則では、 $x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.12

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.13

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.13.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.13.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{2} (x^{2} + 15) x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.14

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 (x \cdot x^{2}) (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{1 + 2} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.16

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot 15) x) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.4.1.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.4.1.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.4.1.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.1.2

$2$ に $15$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.2

$2 x^{3}$ と $2 x^{3}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 5) (4 x^{3} + 30 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.4.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3} + 30 x) + 5 (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.4.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.4.1.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.4.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.4.1.4.1.2.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.4.1.2.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.4.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{2} x + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.4.1.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.4.1.4.1.4.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 (x \cdot x^{2}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.4.1.4.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.4.1.4.1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 (x \cdot x^{2}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.4.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{1 + 2} + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.4.1.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.4.1.5

$4$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 20 x^{3} + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.4.1.6

$30$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 20 x^{3} + 150 x - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.4.2

$30 x^{3}$ と $20 x^{3}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.5

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.4.1.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 (x^{2} x^{3}) - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{2 + 3} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.5.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.1.6

$15$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.2

$4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 60 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.4.2.1

$4 x^{5}$ から $4 x^{5}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{50 x^{3} + 150 x + 0 - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.2.2

$50 x^{3} + 150 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{50 x^{3} + 150 x - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4.3

$50 x^{3}$ から $60 x^{3}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{3} + 150 x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.5

$10 x$ を $- 10 x^{3} + 150 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.5.1

$10 x$ を $- 10 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2}) + 150 x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.5.2

$10 x$ を $150 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2}) + 10 x (15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.5.3

$10 x$ を $10 x (- x^{2}) + 10 x (15)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.6

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2}) + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.7

$15$ を $- 1 (- 15)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2}) - 1 \cdot - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.8

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (- 15)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2} - 15))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.9

$- (x^{2} - 15)$ を $- 1 (x^{2} - 15)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{10 x (- 1 (x^{2} - 15))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.10

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ です。

$- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$10 x (x^{2} - 15) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 15 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.3.3

$x^{2} - 15$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$x^{2} - 15$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 15 = 0$

ステップ 2.3.3.2

$x$ について $x^{2} - 15 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

方程式の両辺に $15$ を足します。

$x^{2} = 15$

ステップ 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{15}$

ステップ 2.3.3.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{15}$

ステップ 2.3.3.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{15}$

ステップ 2.3.3.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{15}, - \sqrt{15}$

ステップ 2.3.4

最終解は $10 x (x^{2} - 15) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{15}, - \sqrt{15}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{{(0)}^{2} + 5}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0}{0^{2} + 5}$

ステップ 3.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0}{0 + 5}$

ステップ 3.1.2.2.2

$0$ と $5$ をたし算します。

$f (0) = \frac{0}{5}$

ステップ 3.1.2.3

$0$ を $5$ で割ります。

$f (0) = 0$

ステップ 3.1.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 3.3

$\sqrt{15}$ を $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{15}$ で置換えます。

$f (\sqrt{15}) = \frac{{(\sqrt{15})}^{3}}{{(\sqrt{15})}^{2} + 5}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${\sqrt{15}}^{3}$ を $\sqrt{15^{3}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{15^{3}}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

ステップ 3.3.2.1.2

$15$ を $3$ 乗します。

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{3375}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

ステップ 3.3.2.1.3

$3375$ を $15^{2} \cdot 15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1

$225$ を $3375$ で因数分解します。

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{225 (15)}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

ステップ 3.3.2.1.3.2

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{15^{2} \cdot 15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

ステップ 3.3.2.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

ステップ 3.3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

${\sqrt{15}}^{2}$ を $15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{15}$ を $15^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5}$

ステップ 3.3.2.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

ステップ 3.3.2.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

ステップ 3.3.2.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

ステップ 3.3.2.2.1.5

指数を求めます。

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

ステップ 3.3.2.2.2

$15$ と $5$ をたし算します。

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{20}$

ステップ 3.3.2.3

$15$ と $20$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$5$ を $15 \sqrt{15}$ で因数分解します。

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{20}$

ステップ 3.3.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.2.1

$5$ を $20$ で因数分解します。

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{5 (4)}$

ステップ 3.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{5 \cdot 4}$

ステップ 3.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f (\sqrt{15}) = \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

ステップ 3.3.2.4

最終的な答えは $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ です。

$\frac{3 \sqrt{15}}{4}$

ステップ 3.4

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ で代入して $\sqrt{15}$ 求めた点は、 $(\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

ステップ 3.5

$- \sqrt{15}$ を $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

式の変数 $x$ を $- \sqrt{15}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{{(- \sqrt{15})}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

ステップ 3.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{15}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{15}}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

ステップ 3.5.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- {\sqrt{15}}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

ステップ 3.5.2.1.3

${\sqrt{15}}^{3}$ を $\sqrt{15^{3}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{15^{3}}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

ステップ 3.5.2.1.4

$15$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{3375}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

ステップ 3.5.2.1.5

$3375$ を $15^{2} \cdot 15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.5.1

$225$ を $3375$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{225 (15)}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

ステップ 3.5.2.1.5.2

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{15^{2} \cdot 15}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

ステップ 3.5.2.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 1 \cdot (15 \sqrt{15})}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

ステップ 3.5.2.1.7

$- 1$ に $15$ をかけます。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

ステップ 3.5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

積の法則を $- \sqrt{15}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{15}}^{2} + 5}$

ステップ 3.5.2.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{1 {\sqrt{15}}^{2} + 5}$

ステップ 3.5.2.2.3

${\sqrt{15}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

ステップ 3.5.2.2.4

${\sqrt{15}}^{2}$ を $15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{15}$ を $15^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5}$

ステップ 3.5.2.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5}$

ステップ 3.5.2.2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

ステップ 3.5.2.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

ステップ 3.5.2.2.4.4.2

式を書き換えます。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

ステップ 3.5.2.2.4.5

指数を求めます。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

ステップ 3.5.2.2.5

$15$ と $5$ をたし算します。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{20}$

ステップ 3.5.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1

$- 15$ と $20$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.1

$5$ を $- 15 \sqrt{15}$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{20}$

ステップ 3.5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.2.1

$5$ を $20$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{5 (4)}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{5 \cdot 4}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 3 \sqrt{15}}{4}$

ステップ 3.5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \sqrt{15}) = - \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

ステップ 3.5.2.4

最終的な答えは $- \frac{3 \sqrt{15}}{4}$ です。

$- \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

ステップ 3.6

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ で代入して $- \sqrt{15}$ 求めた点は、 $(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

ステップ 3.7

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - \sqrt{15}) \cup (- \sqrt{15}, 0) \cup (0, \sqrt{15}) \cup (\sqrt{15}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \sqrt{15})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3.97298334$ で置換えます。

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{(10 (- 3.97298334)) ({(- 3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$10$ に $- 3.97298334$ をかけます。

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 39.72983346 ({(- 3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 39.72983346$ に ${(- 3.97298334)}^{2} - 15$ をかけます。

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 3.97298334$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{(15.78459666 + 5)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$15.78459666$ と $5$ をたし算します。

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{20.78459666}^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

$20.78459666$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{8978.93451047}$

ステップ 5.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$- 31.171895$ を $8978.93451047$ で割ります。

$f'' (- 3.97298334) = 0.00347166$

ステップ 5.2.3.2

$- 1$ に $- 0.00347166$ をかけます。

$f'' (- 3.97298334) = 0.00347166$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $0.00347166$ です。

$0.00347166$

ステップ 5.3

$- 3.97298334$ で二次導関数は $0.00347166$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - \sqrt{15})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - \sqrt{15})$ で増加

ステップ 6

区間 $(- \sqrt{15}, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.93649167$ で置換えます。

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{(10 (- 1.93649167)) ({(- 1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$10$ に $- 1.93649167$ をかけます。

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{- 19.36491673 ({(- 1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 19.36491673$ に ${(- 1.93649167)}^{2} - 15$ をかけます。

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 1.93649167$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{(3.75 + 5)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$3.75$ と $5$ をたし算します。

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{8.75}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$8.75$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{669.921875}$

ステップ 6.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$217.85531322$ を $669.921875$ で割ります。

$f'' (- 1.93649167) = - 1 \cdot 0.3251951$

ステップ 6.2.3.2

$- 1$ に $0.3251951$ をかけます。

$f'' (- 1.93649167) = - 0.3251951$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- 0.3251951$ です。

$- 0.3251951$

ステップ 6.3

$- 1.93649167$ で二次導関数は $- 0.3251951$ です。これは負の値なので、 $(- \sqrt{15}, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \sqrt{15}, 0)$ で減少

ステップ 7

区間 $(0, \sqrt{15})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.93649167$ で置換えます。

$f'' (1.93649167) = - \frac{(10 (1.93649167)) ({(1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$10$ に $1.93649167$ をかけます。

$f'' (1.93649167) = - \frac{19.36491673 ({1.93649167}^{2} - 15)}{{({1.93649167}^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

$19.36491673$ に ${1.93649167}^{2} - 15$ をかけます。

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{({1.93649167}^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$1.93649167$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{(3.75 + 5)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$3.75$ と $5$ をたし算します。

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{8.75}^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$8.75$ を $3$ 乗します。

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{669.921875}$

ステップ 7.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$- 217.85531322$ を $669.921875$ で割ります。

$f'' (1.93649167) = 0.3251951$

ステップ 7.2.3.2

$- 1$ に $- 0.3251951$ をかけます。

$f'' (1.93649167) = 0.3251951$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $0.3251951$ です。

$0.3251951$

ステップ 7.3

$1.93649167$ で二次導関数は $0.3251951$ です。これは正の値なので、 $(0, \sqrt{15})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, \sqrt{15})$ で増加

ステップ 8

区間 $(\sqrt{15}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $3.97298334$ で置換えます。

$f'' (3.97298334) = - \frac{(10 (3.97298334)) ({(3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$10$ に $3.97298334$ をかけます。

$f'' (3.97298334) = - \frac{39.72983346 ({3.97298334}^{2} - 15)}{{({3.97298334}^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 8.2.1.2

$39.72983346$ に ${3.97298334}^{2} - 15$ をかけます。

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{({3.97298334}^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$3.97298334$ を $2$ 乗します。

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{(15.78459666 + 5)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.2

$15.78459666$ と $5$ をたし算します。

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{20.78459666}^{3}}$

ステップ 8.2.2.3

$20.78459666$ を $3$ 乗します。

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{8978.93451047}$

ステップ 8.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

$31.171895$ を $8978.93451047$ で割ります。

$f'' (3.97298334) = - 1 \cdot 0.00347166$

ステップ 8.2.3.2

$- 1$ に $0.00347166$ をかけます。

$f'' (3.97298334) = - 0.00347166$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- 0.00347166$ です。

$- 0.00347166$

ステップ 8.3

$3.97298334$ で二次導関数は $- 0.00347166$ です。これは負の値なので、 $(\sqrt{15}, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(\sqrt{15}, \infty)$ で減少

ステップ 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ .

$(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例