微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.3

$2$ を ${(x - 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 1)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.4.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.4.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.4.5.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.4

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.5.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.6

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.7.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.7.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.7.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.7.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.7.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.7.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.7.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.7.2.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.7.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.8

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.8.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.8.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.8.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.8.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.1.9

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.2

$2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.2.2

$- 4 x^{2} + 2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.3

$- 4 x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.3

$2 x$ を $- 2 x^{2} + 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.3.1

$2 x$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.3.2

$2 x$ を $2 x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.3.3

$2 x$ を $2 x (- x) + 2 x (1)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.4

$- x + 1$ と ${(x - 1)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.4.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.4.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) - 1 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.4.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.4.4

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.4.5

$x - 1$ を $2 x (- 1 (x - 1))$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.4.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.4.6.1

$x - 1$ を ${(x - 1)}^{4}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.5.4.6.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.5.4.6.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.5.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.5.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{3}}]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{({(x - 1)}^{3})}^{2}}$

ステップ 1.2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

${({(x - 1)}^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.3.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.2.3.3

${(x - 1)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.2.4

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.2.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.2.4.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.2.5

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.2.5.2

${(x - 1)}^{2}$ を ${(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

${(x - 1)}^{2}$ を ${(x - 1)}^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.2.5.2.2

${(x - 1)}^{2}$ を $- 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.2.5.2.3

${(x - 1)}^{2}$ を ${(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.2.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

${(x - 1)}^{2}$ を ${(x - 1)}^{6}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.6.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.6.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.7

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.10

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.10.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.10.3

$x$ から $3 x$ を引きます。

$f'' (x) = - 2 \frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.10.4

$- 2$ と $\frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.10.5

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.11.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.11.2.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.11.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.11.3

$2$ を $- 4 x - 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.11.3.1

$2$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.11.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.11.3.3

$2$ を $2 (- 2 x) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.11.4

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.11.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.11.6

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.11.7

$- (2 x + 1)$ を $- 1 (2 x + 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.11.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.11.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.2.11.10

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ です。

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 (2 x + 1) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2 (2 x + 1) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$2 (2 x + 1) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$2 x + 1$ を $1$ で割ります。

$2 x + 1 = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 2.3.3

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- \frac{1}{2}$ を $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $- \frac{1}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{{((- \frac{1}{2}) - 1)}^{2}}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.1.3

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.1.6

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.2.2.2

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.2.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.4.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 2}{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.2.2.4.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.2.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.2.2.6

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.2.2.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.2.2.8

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 3.1.2.2.9

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

ステップ 3.1.2.2.10

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{4})}$

ステップ 3.1.2.2.11

$\frac{9}{4}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}}$

ステップ 3.1.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

ステップ 3.1.2.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

ステップ 3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{9}$

ステップ 3.1.2.5

最終的な答えは $\frac{1}{9}$ です。

$\frac{1}{9}$

ステップ 3.2

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ で代入して $- \frac{1}{2}$ 求めた点は、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.6$ で置換えます。

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (2 (- 0.6) + 1)}{{((- 0.6) - 1)}^{4}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$2$ に $- 0.6$ をかけます。

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (- 1.2 + 1)}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 1.2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 0.6$ から $1$ を引きます。

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 1.6)}^{4}}$

ステップ 5.2.2.2

$- 1.6$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{6.5536}$

ステップ 5.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2$ に $- 0.2$ をかけます。

$f'' (- 0.6) = \frac{- 0.4}{6.5536}$

ステップ 5.2.3.2

$- 0.4$ を $6.5536$ で割ります。

$f'' (- 0.6) = - 0.06103515$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $- 0.06103515$ です。

$- 0.06103515$

ステップ 5.3

$- 0.6$ で二次導関数は $- 0.06103515$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \frac{1}{2})$ で減少

ステップ 6

区間 $(- \frac{1}{2}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.4$ で置換えます。

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (2 (- 0.4) + 1)}{{((- 0.4) - 1)}^{4}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$2$ に $- 0.4$ をかけます。

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (- 0.8 + 1)}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 0.8$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 0.4$ から $1$ を引きます。

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 1.4)}^{4}}$

ステップ 6.2.2.2

$- 1.4$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{3.8416}$

ステップ 6.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$2$ に $0.2$ をかけます。

$f'' (- 0.4) = \frac{0.4}{3.8416}$

ステップ 6.2.3.2

$0.4$ を $3.8416$ で割ります。

$f'' (- 0.4) = 0.10412328$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $0.10412328$ です。

$0.10412328$

ステップ 6.3

$- 0.4$ で二次導関数は $0.10412328$ です。これは正の値なので、 $(- \frac{1}{2}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \frac{1}{2}, \infty)$ で増加

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ です。

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例