微分積分例

$f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

${(x - 5)}^{2}$ を $(x - 5) (x - 5)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x - 5) (x - 5) (x - 2)]$

ステップ 1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 5) (x - 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(x (x - 5) - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

ステップ 1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

ステップ 1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

ステップ 1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

ステップ 1.1.3.1.2

$- 5$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

ステップ 1.1.3.1.3

$- 5$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 x - 5 x + 25) (x - 2)]$

ステップ 1.1.3.2

$- 5 x$ から $5 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 10 x + 25) (x - 2)]$

ステップ 1.1.4

$f (x) = x^{2} - 10 x + 25$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

ステップ 1.1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$(x^{2} - 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

ステップ 1.1.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

ステップ 1.1.5.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

ステップ 1.1.5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} - 10 x + 25) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

ステップ 1.1.5.4.2

$x^{2} - 10 x + 25$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

ステップ 1.1.5.5

総和則では、 $x^{2} - 10 x + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

ステップ 1.1.5.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

ステップ 1.1.5.7

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

ステップ 1.1.5.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

ステップ 1.1.5.9

$- 10$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25])$

ステップ 1.1.5.10

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + 0)$

ステップ 1.1.5.11

$2 x - 10$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10)$

ステップ 1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

ステップ 1.1.6.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

ステップ 1.1.6.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

ステップ 1.1.6.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

ステップ 1.1.6.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

ステップ 1.1.6.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

ステップ 1.1.6.4.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

ステップ 1.1.6.4.6

$- 10$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 \cdot x - 2 \cdot - 10$

ステップ 1.1.6.4.7

$- 2$ に $- 10$ をかけます。

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 x + 20$

ステップ 1.1.6.4.8

$- 4 x$ から $10 x$ を引きます。

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 14 x + 20$

ステップ 1.1.6.4.9

$x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2} - 10 x + 25 - 14 x + 20$

ステップ 1.1.6.4.10

$- 10 x$ から $14 x$ を引きます。

$3 x^{2} - 24 x + 25 + 20$

ステップ 1.1.6.4.11

$25$ と $20$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 45$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 24 x + 45$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

ステップ 1.2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [45]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [45]$

ステップ 1.2.3.3

$- 24$ に $1$ をかけます。

$6 x - 24 + \frac{d}{d x} [45]$

ステップ 1.2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.2.4.1

$45$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $45$ の微分係数は $0$ です。

$6 x - 24 + 0$

ステップ 1.2.4.2

$6 x - 24$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x - 24$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $6 x - 24$ です。

$6 x - 24$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x - 24 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x - 24 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $24$ を足します。

$6 x = 24$

ステップ 2.3

$6 x = 24$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$6 x = 24$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{24}{6}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$24$ を $6$ で割ります。

$x = 4$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$4$ を $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = {((4) - 5)}^{2} ((4) - 2)$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$4$ から $5$ を引きます。

$f (4) = {(- 1)}^{2} ((4) - 2)$

ステップ 3.1.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (4) = 1 ((4) - 2)$

ステップ 3.1.2.3

$(4) - 2$ に $1$ をかけます。

$f (4) = (4) - 2$

ステップ 3.1.2.4

$4$ から $2$ を引きます。

$f (4) = 2$

ステップ 3.1.2.5

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 3.2

$f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ で代入して $4$ 求めた点は、 $(4, 2)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(4, 2)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 4)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $3.9$ で置換えます。

$f'' (3.9) = 6 (3.9) - 24$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$6$ に $3.9$ をかけます。

$f'' (3.9) = 23.4 - 24$

ステップ 5.2.2

$23.4$ から $24$ を引きます。

$f'' (3.9) = - 0.6$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 0.6$ です。

$- 0.6$

ステップ 5.3

$3.9$ で二次導関数は $- 0.6$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, 4)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, 4)$ で減少

ステップ 6

区間 $(4, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $4.1$ で置換えます。

$f'' (4.1) = 6 (4.1) - 24$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$6$ に $4.1$ をかけます。

$f'' (4.1) = 24.6 - 24$

ステップ 6.2.2

$24.6$ から $24$ を引きます。

$f'' (4.1) = 0.6$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.6$ です。

$0.6$

ステップ 6.3

$4.1$ で二次導関数は $0.6$ です。これは正の値なので、 $(4, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(4, \infty)$ で増加

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(4, 2)$ です。

$(4, 2)$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例