微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x + 3}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{x + 3}$ を ${(x + 3)}^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{- 1})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

ステップ 1.1.3.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (1 + 0)$

ステップ 1.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} \cdot 1$

ステップ 1.1.3.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2}$

ステップ 1.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = - \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.2.2.1

$\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ を ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x + 3)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.2.2.2

${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{- 2} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.2.3

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.2.3.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.2.4

微分します。

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ステップ 1.2.4.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.2.4.2

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.2.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.2.4.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.2.4.5

式を簡約します。

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ステップ 1.2.4.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.2.4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.2.4.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 1.2.4.7

式を簡約します。

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ステップ 1.2.4.7.1

$\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + 0$

ステップ 1.2.4.7.2

$2 {(x + 3)}^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3}$

ステップ 1.2.5

簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x + 3)}^{3}})$

ステップ 1.2.5.2

$2$ と $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$ です。

$\frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{{(x + 3)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 2.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

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