微分積分例

$8 y + \sin (y) = x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (8 y + \sin (y)) = \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $8 y + \sin (y)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [8 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 y$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$8 y' + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$8 y' + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$8 y' + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$8 y' + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$8 y' + \cos (y) y'$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$\cos (y) y' + 8 y'$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\cos (y) y' + 8 y' = 1$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\cos (y) y' + 8 y'$ の因数を並べ替えます。

$y' \cos (y) + 8 y' = 1$

ステップ 5.2

$y'$ を $y' \cos (y) + 8 y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $y' \cos (y)$ で因数分解します。

$y' (\cos (y)) + 8 y' = 1$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $8 y'$ で因数分解します。

$y' (\cos (y)) + y' \cdot 8 = 1$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $y' (\cos (y)) + y' \cdot 8$ で因数分解します。

$y' (\cos (y) + 8) = 1$

ステップ 5.3

$y' (\cos (y) + 8) = 1$ の各項を $\cos (y) + 8$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' (\cos (y) + 8) = 1$ の各項を $\cos (y) + 8$ で割ります。

$\frac{y' (\cos (y) + 8)}{\cos (y) + 8} = \frac{1}{\cos (y) + 8}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$\cos (y) + 8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (\cos (y) + 8)}{\cos (y) + 8} = \frac{1}{\cos (y) + 8}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{\cos (y) + 8}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos (y) + 8}$

微分積分 例

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