微分積分例

$x e^{x}$

ステップ 1

$x e^{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = x e^{x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

ステップ 2.1.3.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $x e^{x} + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.2.1

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2.2.4

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

ステップ 2.2.4

簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

$e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 2.2.4.2

項を並べ替えます。

$e^{x} x + 2 e^{x}$

ステップ 2.2.4.3

$e^{x} x + 2 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $x e^{x} + 2 e^{x}$ です。

$x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

ステップ 3.2

$e^{x}$ を $x e^{x} + 2 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$e^{x}$ を $x e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

ステップ 3.2.2

$e^{x}$ を $2 e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

ステップ 3.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ で因数分解します。

$e^{x} (x + 2) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 3.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 3.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 3.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 3.6

最終解は $e^{x} (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$- 2$ を $f (x) = x e^{x}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}}$

ステップ 4.1.2.2

$- 2$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$f (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}}$

ステップ 4.1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 2) = - \frac{2}{e^{2}}$

ステップ 4.1.2.4

最終的な答えは $- \frac{2}{e^{2}}$ です。

$- \frac{2}{e^{2}}$

ステップ 4.2

$f (x) = x e^{x}$ で代入して $- 2$ 求めた点は、 $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2.1$ で置換えます。

$f'' (- 2.1) = (- 2.1) \cdot e^{- 2.1} + 2 e^{- 2.1}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 2.1) = - 2.1 \cdot \frac{1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

ステップ 6.2.1.2

$- 2.1$ と $\frac{1}{e^{2.1}}$ をまとめます。

$f'' (- 2.1) = \frac{- 2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

ステップ 6.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

ステップ 6.2.1.4

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{{2.71828182}^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

ステップ 6.2.1.5

$2.71828182$ を $2.1$ 乗します。

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{8.16616991} + 2 e^{- 2.1}$

ステップ 6.2.1.6

$2.1$ を $8.16616991$ で割ります。

$f'' (- 2.1) = - 1 \cdot 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

ステップ 6.2.1.7

$- 1$ に $0.25715849$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

ステップ 6.2.1.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 (\frac{1}{e^{2.1}})$

ステップ 6.2.1.9

$2$ と $\frac{1}{e^{2.1}}$ をまとめます。

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + \frac{2}{e^{2.1}}$

ステップ 6.2.2

$- 0.25715849$ と $\frac{2}{e^{2.1}}$ をたし算します。

$f'' (- 2.1) = - 0.01224564$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 0.01224564$ です。

$- 0.01224564$

ステップ 6.3

$- 2.1$ で二次導関数は $- 0.01224564$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 2)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 2, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 1.9$ で置換えます。

$f'' (- 1.9) = (- 1.9) \cdot e^{- 1.9} + 2 e^{- 1.9}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 1.9) = - 1.9 \cdot \frac{1}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

ステップ 7.2.1.2

$- 1.9$ と $\frac{1}{e^{1.9}}$ をまとめます。

$f'' (- 1.9) = \frac{- 1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

ステップ 7.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

ステップ 7.2.1.4

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{{2.71828182}^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

ステップ 7.2.1.5

$2.71828182$ を $1.9$ 乗します。

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{6.68589444} + 2 e^{- 1.9}$

ステップ 7.2.1.6

$1.9$ を $6.68589444$ で割ります。

$f'' (- 1.9) = - 1 \cdot 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

ステップ 7.2.1.7

$- 1$ に $0.28418037$ をかけます。

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

ステップ 7.2.1.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 (\frac{1}{e^{1.9}})$

ステップ 7.2.1.9

$2$ と $\frac{1}{e^{1.9}}$ をまとめます。

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + \frac{2}{e^{1.9}}$

ステップ 7.2.2

$- 0.28418037$ と $\frac{2}{e^{1.9}}$ をたし算します。

$f'' (- 1.9) = 0.01495686$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $0.01495686$ です。

$0.01495686$

ステップ 7.3

$- 1.9$ で二次導関数は $0.01495686$ です。これは正の値なので、 $(- 2, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 2, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ です。

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

ステップ 9

微分積分 例

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