微分積分例

$f (x) = {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.1.1.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.1.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.1.5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.1.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.1.6.2

$\frac{2}{3}$ と ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.1.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.1.7

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

ステップ 1.1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3))$

ステップ 1.1.9

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0)$

ステップ 1.1.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

ステップ 1.1.10.2

$\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ の微分係数は $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 1.2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ を ${({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

ステップ 1.2.1.2.2

${({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

ステップ 1.2.1.2.2.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}})$

ステップ 1.2.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{- \frac{1}{3}})$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.2.2.2

$n = - \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.2.6.2

$- 1$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.2.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.2.7.2

${(x + 3)}^{- \frac{4}{3}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{{(x + 3)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.2.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 3)}^{- \frac{4}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.2.7.4

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{3 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 (3 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.2.7.5

$3$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.2.8

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

ステップ 1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3))$

ステップ 1.2.10

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (1 + 0)$

ステップ 1.2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

ステップ 1.2.11.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$ です。

$- \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 2.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

微分積分例