微分積分例

$h (x) = {(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 ${(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{7}) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 2$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.1.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.2

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.2.6

$7$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.3.3

$- 7$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7$

ステップ 1.2

$x$ に関する $h (x)$ の一次導関数は $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ です。

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$

ステップ 2.2

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

二項定理を利用します。

$7 (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 2 + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.2.1

$2$ に $6$ をかけます。

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 4 + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.2.3

$4$ に $15$ をかけます。

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.2.4

$2$ を $3$ 乗します。

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 8 + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.2.5

$8$ に $20$ をかけます。

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.2.6

$2$ を $4$ 乗します。

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 16 + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.2.7

$16$ に $15$ をかけます。

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.2.8

$2$ を $5$ 乗します。

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 32 + 2^{6}) - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.2.9

$32$ に $6$ をかけます。

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 2^{6}) - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.2.10

$2$ を $6$ 乗します。

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 64) - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$7 x^{6} + 7 (12 x^{5}) + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.2.1.4.1

$12$ に $7$ をかけます。

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.4.2

$60$ に $7$ をかけます。

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.4.3

$160$ に $7$ をかけます。

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.4.4

$240$ に $7$ をかけます。

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.4.5

$192$ に $7$ をかけます。

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.4.6

$7$ に $64$ をかけます。

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 448 - 7 = 0$

ステップ 2.2.2

$448$ から $7$ を引きます。

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 441 = 0$

ステップ 2.3

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = - 3, - 1$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- 3, - 1$ です。

$- 3, - 1$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$h' (- 4) = 7 {((- 4) + 2)}^{6} - 7$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 4$ と $2$ をたし算します。

$h' (- 4) = 7 {(- 2)}^{6} - 7$

ステップ 5.2.1.2

$- 2$ を $6$ 乗します。

$h' (- 4) = 7 \cdot 64 - 7$

ステップ 5.2.1.3

$7$ に $64$ をかけます。

$h' (- 4) = 448 - 7$

ステップ 5.2.2

$448$ から $7$ を引きます。

$h' (- 4) = 441$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $441$ です。

$441$

ステップ 5.3

$x = - 4$ で微分係数は $441$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 3)$ で増加します。

$h' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 3)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 3, - 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$h' (- 2) = 7 {((- 2) + 2)}^{6} - 7$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$h' (- 2) = 7 \cdot 0^{6} - 7$

ステップ 6.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$h' (- 2) = 7 \cdot 0 - 7$

ステップ 6.2.1.3

$7$ に $0$ をかけます。

$h' (- 2) = 0 - 7$

ステップ 6.2.2

$0$ から $7$ を引きます。

$h' (- 2) = - 7$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 7$ です。

$- 7$

ステップ 6.3

$x = - 2$ で微分係数は $- 7$ です。これは負の値なので、関数は $(- 3, - 1)$ で減少します。

$h' (x) < 0$ なので $(- 3, - 1)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 1, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$h' (0) = 7 {((0) + 2)}^{6} - 7$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$0$ と $2$ をたし算します。

$h' (0) = 7 \cdot 2^{6} - 7$

ステップ 7.2.1.2

$2$ を $6$ 乗します。

$h' (0) = 7 \cdot 64 - 7$

ステップ 7.2.1.3

$7$ に $64$ をかけます。

$h' (0) = 448 - 7$

ステップ 7.2.2

$448$ から $7$ を引きます。

$h' (0) = 441$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $441$ です。

$441$

ステップ 7.3

$x = 0$ で微分係数は $441$ です。これは正の値なので、関数は $(- 1, \infty)$ で増加します。

$h' (x) > 0$ なので $(- 1, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 3), (- 1, \infty)$ で増加

$(- 3, - 1)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

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