微分積分例

$y = \frac{2 + x}{3 - x}$

ステップ 1

$y = \frac{2 + x}{3 - x}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = 2 + x$ および $g (x) = 3 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [2 + x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $2 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(3 - x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(3 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 - x) \cdot 1 - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.5

$3 - x$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6

総和則では、 $3 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{3 - x - (2 + x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.7

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 - x - (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.8

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(3 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3 - x - (2 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(3 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.10

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 - x + 1 (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.10.2

$2 + x$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 - x + (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 - x + (2 + x) \cdot 1}{{(3 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.12

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.12.1

$2 + x$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 - x + 2 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.12.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- x + 5 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.12.3

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{0 + 5}{{(3 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.12.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.12.4.1

$0$ と $5$ をたし算します。

$\frac{5}{{(3 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.12.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ です。

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$5 = 0$

ステップ 3.3

$5 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 5

微分係数が未定義になる場所を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(- x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 5.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 1$ を $- x + 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

${(- (x) + 3)}^{2} = 0$

ステップ 5.2.1.1.2

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

${(- (x) - 1 \cdot - 3)}^{2} = 0$

ステップ 5.2.1.1.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

${(- (x - 3))}^{2} = 0$

ステップ 5.2.1.2

積の法則を $- (x - 3)$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 5.2.2

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ の各項を ${(- 1)}^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ の各項を ${(- 1)}^{2}$ で割ります。

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

${(- 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

${(x - 3)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.3.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{1}$

ステップ 5.2.2.3.2

$0$ を $1$ で割ります。

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 5.2.3

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.2.4

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6

微分係数 $f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ です。

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 7

区間 $(- \infty, 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = \frac{5}{{(- (2) + 3)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = \frac{5}{{(- 2 + 3)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$f' (2) = \frac{5}{1^{2}}$

ステップ 7.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (2) = \frac{5}{1}$

ステップ 7.2.2

$5$ を $1$ で割ります。

$f' (2) = 5$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $5$ です。

$5$

ステップ 7.3

$x = 2$ で微分係数は $5$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 3)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 3)$ で増加

ステップ 8

区間 $(3, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = \frac{5}{{(- (4) + 3)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = \frac{5}{{(- 4 + 3)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.2

$- 4$ と $3$ をたし算します。

$f' (4) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = \frac{5}{1}$

ステップ 8.2.2

$5$ を $1$ で割ります。

$f' (4) = 5$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $5$ です。

$5$

ステップ 8.3

$x = 4$ で微分係数は $5$ です。これは正の値なので、関数は $(3, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(3, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 3), (3, \infty)$ で増加

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例