微分積分例

$y = \frac{1}{x}$

ステップ 1

$y = \frac{1}{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{x}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.1.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2}$

ステップ 2.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{1}{x^{2}}$ です。

$- \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1}{x^{2}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 3.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 5

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 5.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数 $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \frac{1}{x}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 7

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

ステップ 7.2.2

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

共通因数を約分します。

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

ステップ 7.2.2.2

式を書き換えます。

$f' (- 1) = - 1 \cdot 1$

ステップ 7.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 1$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 7.3

$x = - 1$ で微分係数は $- 1$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 8

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

ステップ 8.2.2

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

共通因数を約分します。

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

ステップ 8.2.2.2

式を書き換えます。

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

ステップ 8.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = - 1$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 8.3

$x = 1$ で微分係数は $- 1$ です。これは負の値なので、関数は $(0, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, \infty)$ で減少

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 0), (0, \infty)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例