微分積分例

$y = {(x - 4)}^{3}$

ステップ 1

$y = {(x - 4)}^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(x - 4)}^{3}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 4$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 2.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 2.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 2.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 2.1.2.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)$

ステップ 2.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1$

ステップ 2.1.2.4.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 {(x - 4)}^{2}$ です。

$3 {(x - 4)}^{2}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 {(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$3 {(x - 4)}^{2} = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$3 {(x - 4)}^{2} = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 3.2.2.1.2

${(x - 4)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 3.3

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 3.4

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $4$ です。

$4$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = {(x - 4)}^{3}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ です。

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 4)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = 3 {((3) - 4)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$3$ から $4$ を引きます。

$f' (3) = 3 {(- 1)}^{2}$

ステップ 6.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (3) = 3 \cdot 1$

ステップ 6.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (3) = 3$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 6.3

$x = 3$ で微分係数は $3$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 4)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 4)$ で増加

ステップ 7

区間 $(4, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f' (5) = 3 {((5) - 4)}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$5$ から $4$ を引きます。

$f' (5) = 3 \cdot 1^{2}$

ステップ 7.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (5) = 3 \cdot 1$

ステップ 7.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (5) = 3$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 7.3

$x = 5$ で微分係数は $3$ です。これは正の値なので、関数は $(4, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(4, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 4), (4, \infty)$ で増加

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例