微分積分例

$y = 2 - 2 x - x^{3}$

ステップ 1

$y = 2 - 2 x - x^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = 2 - 2 x - x^{3}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

微分します。

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ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $2 - 2 x - x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.1.1.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.1.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$0 - 2 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$0 - 2 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 - (3 x^{2})$

ステップ 2.1.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 - 3 x^{2}$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

$0$ から $2$ を引きます。

$- 2 - 3 x^{2}$

ステップ 2.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 3 x^{2} - 2$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 x^{2} - 2$ です。

$- 3 x^{2} - 2$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{2} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{2} - 2 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$- 3 x^{2} = 2$

ステップ 3.3

$- 3 x^{2} = 2$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 3 x^{2} = 2$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

ステップ 3.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{2}{- 3}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{2}{3}$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{3}}$

ステップ 3.5

$\pm \sqrt{- \frac{2}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{3}}$

ステップ 3.5.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.5.3

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ を $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.5.4

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

ステップ 3.5.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.5.5.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 3.5.5.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 3.5.5.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 3.5.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.5.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 3.5.5.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.5.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.5.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.5.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 3.5.5.6.5

指数を求めます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.5.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.6.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

ステップ 3.5.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 3.5.7

$i$ と $\frac{\sqrt{6}}{3}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{3}$

ステップ 3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{6}}{3}$

ステップ 3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{3}$

ステップ 3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{6}}{3}, - \frac{i \sqrt{6}}{3}$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ を $0$ または未定義にする点はありません。 $f (x) = 2 - 2 x - x^{3}$ の増加・減少を確認する区間は $(- \infty, \infty)$ です。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \infty)$ から $1$ などの任意の数を微分係数 $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ に代入し、結果が負か正か確認します。結果が負ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で減少します。結果が正ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加しています。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} - 2$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = - 3 \cdot 1 - 2$

ステップ 6.2.1.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = - 3 - 2$

ステップ 6.2.2

$- 3$ から $2$ を引きます。

$f' (1) = - 5$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 5$ です。

$- 5$

ステップ 7

$1$ を $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ に代入した結果は $- 5$ です。これは負なので、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で減少します。

$(- \infty, \infty)$ で減少

ステップ 8

区間 $(- \infty, \infty)$ で減少することは、関数が常に減少しているという意味です。

常に減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例