微分積分例

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

ステップ 1

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 2.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 2.1.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 2.1.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 6 x + 6 + 0$

ステップ 2.1.4.2

$3 x^{2} - 6 x + 6$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 6 x + 6$ です。

$3 x^{2} - 6 x + 6$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$

ステップ 3.2

$3$ を $3 x^{2} - 6 x + 6$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) - 6 x + 6 = 0$

ステップ 3.2.2

$3$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 6 = 0$

ステップ 3.2.3

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

ステップ 3.2.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

ステップ 3.2.5

$3$ を $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

ステップ 3.3

$3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 3.3.2.1.2

$x^{2} - 2 x + 2$ を $1$ で割ります。

$x^{2} - 2 x + 2 = \frac{0}{3}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

ステップ 3.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 3.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.3

$4$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

ステップ 3.6.3

$\frac{2 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i$

ステップ 3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 3.7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.3

$4$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

ステップ 3.7.3

$\frac{2 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i$

ステップ 3.7.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 1 + i$

ステップ 3.8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.8.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.8.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.8.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 3.8.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.8.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.8.1.3

$4$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.8.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.8.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.8.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.8.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.8.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.8.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.8.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

ステップ 3.8.3

$\frac{2 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i$

ステップ 3.8.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 1 - i$

ステップ 3.9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + i, 1 - i$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ を $0$ または未定義にする点はありません。 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ の増加・減少を確認する区間は $(- \infty, \infty)$ です。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \infty)$ から $1$ などの任意の数を微分係数 $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ に代入し、結果が負か正か確認します。結果が負ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で減少します。結果が正ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加しています。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 6$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 6$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1 + 6$

ステップ 6.2.1.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 3 - 6 + 6$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$3$ から $6$ を引きます。

$f' (1) = - 3 + 6$

ステップ 6.2.2.2

$- 3$ と $6$ をたし算します。

$f' (1) = 3$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 7

$1$ を $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ に代入した結果は $3$ です。これは正なので、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加します。

$3 x^{2} - 6 x + 6 > 0$ なので $(- \infty, \infty)$ で増加

ステップ 8

区間 $(- \infty, \infty)$ で増加することは、関数が常に増加しているという意味です。

常に増加

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例