微分積分例

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

ステップ 1

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$ を関数で書きます。

$f (x) = x - 4 \ln (3 x - 9)$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

微分します。

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ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x - 4 \ln (3 x - 9)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

ステップ 2.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 \ln (3 x - 9)$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ です。

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

ステップ 2.1.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 9$ とします。

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

ステップ 2.1.2.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

ステップ 2.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 9$ で置き換えます。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

ステップ 2.1.2.3

総和則では、 $3 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

ステップ 2.1.2.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

ステップ 2.1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

ステップ 2.1.2.6

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

ステップ 2.1.2.7

$3$ に $1$ をかけます。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

ステップ 2.1.2.8

$3$ と $0$ をたし算します。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

ステップ 2.1.2.9

$\frac{1}{3 x - 9}$ と $3$ をまとめます。

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

ステップ 2.1.2.10

$3$ と $3 x - 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.10.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

ステップ 2.1.2.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.10.2.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

ステップ 2.1.2.10.2.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

ステップ 2.1.2.10.2.3

$3$ を $3 (x) + 3 (- 3)$ で因数分解します。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

ステップ 2.1.2.10.2.4

共通因数を約分します。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

ステップ 2.1.2.10.2.5

式を書き換えます。

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

ステップ 2.1.2.11

$- 4$ と $\frac{1}{x - 3}$ をまとめます。

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

ステップ 2.1.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$1 - \frac{4}{x - 3}$

ステップ 2.1.3

項をまとめます。

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ステップ 2.1.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

ステップ 2.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

ステップ 2.1.3.3

$- 3$ から $4$ を引きます。

$f' (x) = \frac{x - 7}{x - 3}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x - 7}{x - 3}$ です。

$\frac{x - 7}{x - 3}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x - 7}{x - 3} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x - 7}{x - 3} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$x - 7 = 0$

ステップ 3.3

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $7$ です。

$7$

ステップ 5

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{x - 7}{x - 3}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 3) \cup (3, 7) \cup (7, \infty)$

ステップ 7

定義域にない区間を除外します。

$(3, 7)$

ステップ 8

区間 $(3, 7)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f' (5) = \frac{(5) - 7}{(5) - 3}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$5$ から $7$ を引きます。

$f' (5) = \frac{- 2}{5 - 3}$

ステップ 8.2.2

$5$ から $3$ を引きます。

$f' (5) = \frac{- 2}{2}$

ステップ 8.2.3

$- 2$ を $2$ で割ります。

$f' (5) = - 1$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 8.3

$x = 5$ で微分係数は $- 1$ です。これは負の値なので、関数は $(3, 7)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(3, 7)$ で減少

ステップ 9

定義域にない区間を除外します。

$(3, 7), (7, \infty)$

ステップ 10

区間 $(7, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f' (8) = \frac{(8) - 7}{(8) - 3}$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$8$ から $7$ を引きます。

$f' (8) = \frac{1}{8 - 3}$

ステップ 10.2.2

$8$ から $3$ を引きます。

$f' (8) = \frac{1}{5}$

ステップ 10.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{5}$ です。

$\frac{1}{5}$

ステップ 10.3

$x = 8$ で微分係数は $\frac{1}{5}$ です。これは正の値なので、関数は $(7, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(7, \infty)$ で増加

ステップ 11

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(7, \infty)$ で増加

$(3, 7)$ で減少

ステップ 12

微分積分 例

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