微分積分例

$e^{- x^{2}}$

ステップ 1

$e^{- x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{- x^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.1.3

$u$ のすべての発生を $- x^{2}$ で置き換えます。

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

ステップ 2.1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

ステップ 2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$ の因数を並べ替えます。

$- 2 e^{- x^{2}} x$

ステップ 2.1.3.2

$- 2 e^{- x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x e^{- x^{2}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x^{2}$ とします。

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $- x^{2}$ で置き換えます。

$- 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.4.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 (x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.8.2

$- 2$ を $e^{- x^{2}}$ の左に移動させます。

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

ステップ 2.2.10

$e^{- x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

ステップ 2.2.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1

分配則を当てはめます。

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 e^{- x^{2}}$

ステップ 2.2.11.2

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

ステップ 2.2.11.3

項を並べ替えます。

$4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$

ステップ 2.2.11.4

$4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ です。

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$

ステップ 3.2

$2 e^{- x^{2}}$ を $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2 e^{- x^{2}}$ を $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ で因数分解します。

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) - 2 e^{- x^{2}} = 0$

ステップ 3.2.2

$2 e^{- x^{2}}$ を $- 2 e^{- x^{2}}$ で因数分解します。

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1) = 0$

ステップ 3.2.3

$2 e^{- x^{2}}$ を $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1)$ で因数分解します。

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{- x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

ステップ 3.4

$e^{- x^{2}}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$e^{- x^{2}}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{- x^{2}} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $e^{- x^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

ステップ 3.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.4.2.3

$e^{- x^{2}} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 3.5

$2 x^{2} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$2 x^{2} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{2} - 1 = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $2 x^{2} - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x^{2} = 1$

ステップ 3.5.2.2

$2 x^{2} = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$2 x^{2} = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.5.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.5.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.5.2.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.4.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.5.2.4.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.5.2.4.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.5.2.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.4.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.5.2.4.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 3.5.2.4.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 3.5.2.4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.5.2.4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.5.2.4.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.5.2.4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.5.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.2.4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.2.4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.5.2.4.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.5.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.5.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.6

最終解は $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ を $f (x) = e^{- x^{2}}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 4.1.2.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 4.1.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

ステップ 4.1.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 4.1.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 4.1.2.2.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

ステップ 4.1.2.2.5

指数を求めます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

ステップ 4.1.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

ステップ 4.1.2.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

ステップ 4.1.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 4.1.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 4.1.2.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.2.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.2.6

最終的な答えは $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2

$f (x) = e^{- x^{2}}$ で代入して $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 求めた点は、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 4.3

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ を $f (x) = e^{- x^{2}}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

ステップ 4.3.2.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

ステップ 4.3.2.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 4.3.2.2.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

ステップ 4.3.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 4.3.2.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 4.3.2.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 4.3.2.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 4.3.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

ステップ 4.3.2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 4.3.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 4.3.2.4.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

ステップ 4.3.2.4.5

指数を求めます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

ステップ 4.3.2.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

ステップ 4.3.2.6

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

ステップ 4.3.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 4.3.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 4.3.2.6.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.3.2.7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.2.8

最終的な答えは $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.4

$f (x) = e^{- x^{2}}$ で代入して $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 求めた点は、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.80710678$ で置換えます。

$f'' (- 0.80710678) = 4 {(- 0.80710678)}^{2} e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 0.80710678$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$4$ に $0.65142135$ をかけます。

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

$- 0.80710678$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.4

$- 1$ に $0.65142135$ をかけます。

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.6

$2.60568542$ と $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ をまとめます。

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.7

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.8

$2.71828182$ を $0.65142135$ 乗します。

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.9

$2.60568542$ を $1.91826543$ で割ります。

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.10

$- 0.80710678$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

ステップ 6.2.1.11

$- 1$ に $0.65142135$ をかけます。

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

ステップ 6.2.1.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

ステップ 6.2.1.13

$- 2$ と $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ をまとめます。

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

ステップ 6.2.1.14

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

ステップ 6.2.2

$1.35835499$ から $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ を引きます。

$f'' (- 0.80710678) = 0.31574641$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.31574641$ です。

$0.31574641$

ステップ 6.3

$- 0.80710678$ で二次導関数は $0.31574641$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ で増加

ステップ 7

区間 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 4 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 4 \cdot (0 e^{- {(0)}^{2}}) - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 0 e^{- 0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 e^{0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.6

$0$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.7

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- 0}$

ステップ 7.2.1.8

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 2 e^{0}$

ステップ 7.2.1.9

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 0 - 2 \cdot 1$

ステップ 7.2.1.10

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 2$

ステップ 7.2.2

$0$ から $2$ を引きます。

$f'' (0) = - 2$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 7.3

$0$ で二次導関数は $- 2$ です。これは負の値なので、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ で減少

ステップ 8

区間 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.80710678$ で置換えます。

$f'' (0.80710678) = 4 {(0.80710678)}^{2} e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$0.80710678$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.2

$4$ に $0.65142135$ をかけます。

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.3

$0.80710678$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.4

$- 1$ に $0.65142135$ をかけます。

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.6

$2.60568542$ と $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ をまとめます。

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.7

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.8

$2.71828182$ を $0.65142135$ 乗します。

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.9

$2.60568542$ を $1.91826543$ で割ります。

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.10

$0.80710678$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

ステップ 8.2.1.11

$- 1$ に $0.65142135$ をかけます。

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

ステップ 8.2.1.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

ステップ 8.2.1.13

$- 2$ と $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ をまとめます。

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

ステップ 8.2.1.14

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

ステップ 8.2.2

$1.35835499$ から $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ を引きます。

$f'' (0.80710678) = 0.31574641$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $0.31574641$ です。

$0.31574641$

ステップ 8.3

$0.80710678$ で二次導関数は $0.31574641$ です。これは正の値なので、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ です。

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例