微分積分例

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + 1}{x - 1})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.4.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.8

式を簡約します。

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ステップ 3.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$x - 1 - x - 1 \cdot 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.2

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.3

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例