微分積分例

$f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $- x^{4} + 6 x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{3} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $6$ をかけます。

$- 4 x^{3} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$- 4 x^{3} + 12 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$- 4 x^{3} + 12 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $- 4 x^{3} + 12 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$- 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 x^{2} + 12 \cdot 1$

ステップ 1.2.3.3

$12$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 12 x^{2} + 12$ です。

$- 12 x^{2} + 12$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 12 x^{2} + 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 12 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$- 12 x^{2} = - 12$

ステップ 2.3

$- 12 x^{2} = - 12$ の各項を $- 12$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 12 x^{2} = - 12$ の各項を $- 12$ で割ります。

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 12}{- 12}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 12}{- 12}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 12}{- 12}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 12$ を $- 12$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 2.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$1$ を $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = - {(1)}^{4} + 6 {(1)}^{2} - 4$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} - 4$

ステップ 3.1.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - 1 + 6 {(1)}^{2} - 4$

ステップ 3.1.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = - 1 + 6 \cdot 1 - 4$

ステップ 3.1.2.1.4

$6$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - 1 + 6 - 4$

ステップ 3.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$- 1$ と $6$ をたし算します。

$f (1) = 5 - 4$

ステップ 3.1.2.2.2

$5$ から $4$ を引きます。

$f (1) = 1$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 3.2

$f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ で代入して $1$ 求めた点は、 $(1, 1)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1, 1)$

ステップ 3.3

$- 1$ を $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = - {(- 1)}^{4} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{4} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

ステップ 3.3.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 4} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

ステップ 3.3.2.1.1.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

ステップ 3.3.2.1.2

$- 1$ を $5$ 乗します。

$f (- 1) = - 1 + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

ステップ 3.3.2.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = - 1 + 6 \cdot 1 - 4$

ステップ 3.3.2.1.4

$6$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = - 1 + 6 - 4$

ステップ 3.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$- 1$ と $6$ をたし算します。

$f (- 1) = 5 - 4$

ステップ 3.3.2.2.2

$5$ から $4$ を引きます。

$f (- 1) = 1$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 3.4

$f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ で代入して $- 1$ 求めた点は、 $(- 1, 1)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 1, 1)$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(1, 1), (- 1, 1)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1.1$ で置換えます。

$f'' (- 1.1) = - 12 {(- 1.1)}^{2} + 12$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.1) = - 12 \cdot 1.21 + 12$

ステップ 5.2.1.2

$- 12$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (- 1.1) = - 14.52 + 12$

ステップ 5.2.2

$- 14.52$ と $12$ をたし算します。

$f'' (- 1.1) = - 2.52$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 2.52$ です。

$- 2.52$

ステップ 5.3

$- 1.1$ で二次導関数は $- 2.52$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 1)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 1, 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 12$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 12$

ステップ 6.2.1.2

$- 12$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 12$

ステップ 6.2.2

$0$ と $12$ をたし算します。

$f'' (0) = 12$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $12$ です。

$12$

ステップ 6.3

$0$ で二次導関数は $12$ です。これは正の値なので、 $(- 1, 1)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 1, 1)$ で増加

ステップ 7

区間 $(1, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.1$ で置換えます。

$f'' (1.1) = - 12 {(1.1)}^{2} + 12$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.1) = - 12 \cdot 1.21 + 12$

ステップ 7.2.1.2

$- 12$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (1.1) = - 14.52 + 12$

ステップ 7.2.2

$- 14.52$ と $12$ をたし算します。

$f'' (1.1) = - 2.52$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 2.52$ です。

$- 2.52$

ステップ 7.3

$1.1$ で二次導関数は $- 2.52$ です。これは負の値なので、 $(1, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(1, \infty)$ で減少

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 1, 1), (1, 1)$ です。

$(- 1, 1), (1, 1)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例