微分積分例

$f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $8$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x^{2}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $18$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} (8)$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x^{2}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.2.3.3

$2$ に $24$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.2.4

$\frac{d}{d x} [36 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $36 x$ の微分係数は $36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \cdot 1$

ステップ 1.2.4.3

$36$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x^{2} + 48 x + 36$ です。

$12 x^{2} + 48 x + 36$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} + 48 x + 36 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} + 48 x + 36 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$12$ を $12 x^{2} + 48 x + 36$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$12$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 (x^{2}) + 48 x + 36 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$12$ を $48 x$ で因数分解します。

$12 (x^{2}) + 12 (4 x) + 36 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$12$ を $36$ で因数分解します。

$12 x^{2} + 12 (4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$12$ を $12 x^{2} + 12 (4 x)$ で因数分解します。

$12 (x^{2} + 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$12$ を $12 (x^{2} + 4 x) + 12 \cdot 3$ で因数分解します。

$12 (x^{2} + 4 x + 3) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x + 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $4$ です。

$1, 3$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$12 ((x + 1) (x + 3)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$12 (x + 1) (x + 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 2.4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.6

最終解は $12 (x + 1) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, - 3$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 1$ を $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- 1) = 1 + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

ステップ 3.1.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- 1) = 1 + 8 \cdot - 1 + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

ステップ 3.1.2.1.3

$8$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = 1 - 8 + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

ステップ 3.1.2.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = 1 - 8 + 18 \cdot 1 + 8$

ステップ 3.1.2.1.5

$18$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = 1 - 8 + 18 + 8$

ステップ 3.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$1$ から $8$ を引きます。

$f (- 1) = - 7 + 18 + 8$

ステップ 3.1.2.2.2

$- 7$ と $18$ をたし算します。

$f (- 1) = 11 + 8$

ステップ 3.1.2.2.3

$11$ と $8$ をたし算します。

$f (- 1) = 19$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $19$ です。

$19$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ で代入して $- 1$ 求めた点は、 $(- 1, 19)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 1, 19)$

ステップ 3.3

$- 3$ を $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = {(- 3)}^{4} + 8 {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$- 3$ を $4$ 乗します。

$f (- 3) = 81 + 8 {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

ステップ 3.3.2.1.2

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f (- 3) = 81 + 8 \cdot - 27 + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

ステップ 3.3.2.1.3

$8$ に $- 27$ をかけます。

$f (- 3) = 81 - 216 + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

ステップ 3.3.2.1.4

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f (- 3) = 81 - 216 + 18 \cdot 9 + 8$

ステップ 3.3.2.1.5

$18$ に $9$ をかけます。

$f (- 3) = 81 - 216 + 162 + 8$

ステップ 3.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$81$ から $216$ を引きます。

$f (- 3) = - 135 + 162 + 8$

ステップ 3.3.2.2.2

$- 135$ と $162$ をたし算します。

$f (- 3) = 27 + 8$

ステップ 3.3.2.2.3

$27$ と $8$ をたし算します。

$f (- 3) = 35$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $35$ です。

$35$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ で代入して $- 3$ 求めた点は、 $(- 3, 35)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 3, 35)$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(- 1, 19), (- 3, 35)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 3)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3.1$ で置換えます。

$f'' (- 3.1) = 12 {(- 3.1)}^{2} + 48 (- 3.1) + 36$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 3.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3.1) = 12 \cdot 9.61 + 48 (- 3.1) + 36$

ステップ 5.2.1.2

$12$ に $9.61$ をかけます。

$f'' (- 3.1) = 115.32 + 48 (- 3.1) + 36$

ステップ 5.2.1.3

$48$ に $- 3.1$ をかけます。

$f'' (- 3.1) = 115.32 - 148.8 + 36$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$115.32$ から $148.8$ を引きます。

$f'' (- 3.1) = - 33.48 + 36$

ステップ 5.2.2.2

$- 33.48$ と $36$ をたし算します。

$f'' (- 3.1) = 2.52$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $2.52$ です。

$2.52$

ステップ 5.3

$- 3.1$ で二次導関数は $2.52$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 3)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 3)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 3, - 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2) + 36$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 + 48 (- 2) + 36$

ステップ 6.2.1.2

$12$ に $4$ をかけます。

$f'' (- 2) = 48 + 48 (- 2) + 36$

ステップ 6.2.1.3

$48$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = 48 - 96 + 36$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$48$ から $96$ を引きます。

$f'' (- 2) = - 48 + 36$

ステップ 6.2.2.2

$- 48$ と $36$ をたし算します。

$f'' (- 2) = - 12$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 12$ です。

$- 12$

ステップ 6.3

$- 2$ で二次導関数は $- 12$ です。これは負の値なので、 $(- 3, - 1)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 3, - 1)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 1, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 0.9$ で置換えます。

$f'' (- 0.9) = 12 {(- 0.9)}^{2} + 48 (- 0.9) + 36$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 0.9$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.9) = 12 \cdot 0.81 + 48 (- 0.9) + 36$

ステップ 7.2.1.2

$12$ に $0.81$ をかけます。

$f'' (- 0.9) = 9.72 + 48 (- 0.9) + 36$

ステップ 7.2.1.3

$48$ に $- 0.9$ をかけます。

$f'' (- 0.9) = 9.72 - 43.2 + 36$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$9.72$ から $43.2$ を引きます。

$f'' (- 0.9) = - 33.48 + 36$

ステップ 7.2.2.2

$- 33.48$ と $36$ をたし算します。

$f'' (- 0.9) = 2.52$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $2.52$ です。

$2.52$

ステップ 7.3

$- 0.9$ で二次導関数は $2.52$ です。これは正の値なので、 $(- 1, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 1, \infty)$ で増加

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 3, 35), (- 1, 19)$ .

$(- 3, 35), (- 1, 19)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例