微分積分例

$f (x) = x^{\frac{5}{7}}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$n = \frac{5}{7}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1}$

ステップ 1.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}$

ステップ 1.1.3

$- 1$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}$

ステップ 1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 1 \cdot 7}{7}}$

ステップ 1.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 7}{7}}$

ステップ 1.1.5.2

$5$ から $7$ を引きます。

$\frac{5}{7} x^{\frac{- 2}{7}}$

ステップ 1.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{5}{7} x^{- \frac{2}{7}}$

ステップ 1.1.7

簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$

ステップ 1.1.7.2

$\frac{5}{7}$ に $\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{5}{7}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$ の微分係数は $\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}]$ です。

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}]$

ステップ 1.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$ を ${(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}]$

ステップ 1.2.2.2

${(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{7} \cdot - 1}]$

ステップ 1.2.2.2.2

$\frac{2}{7} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 1.2.2.2.2.1

$\frac{2}{7}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{7}}]$

ステップ 1.2.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{7}}]$

ステップ 1.2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{7}}]$

ステップ 1.2.3

$n = - \frac{2}{7}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} - 1})$

ステップ 1.2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

ステップ 1.2.5

$- 1$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

ステップ 1.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 7}{7}})$

ステップ 1.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.7.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 2 - 7}{7}})$

ステップ 1.2.7.2

$- 2$ から $7$ を引きます。

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 9}{7}})$

ステップ 1.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{9}{7}})$

ステップ 1.2.9

$x^{- \frac{9}{7}}$ と $\frac{2}{7}$ をまとめます。

$\frac{5}{7} (- \frac{x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2}{7})$

ステップ 1.2.10

$\frac{5}{7}$ に $\frac{x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2}{7}$ をかけます。

$- \frac{5 (x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2)}{7 \cdot 7}$

ステップ 1.2.11

掛け算します。

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ステップ 1.2.11.1

$2$ に $5$ をかけます。

$- \frac{10 x^{- \frac{9}{7}}}{7 \cdot 7}$

ステップ 1.2.11.2

$7$ に $7$ をかけます。

$- \frac{10 x^{- \frac{9}{7}}}{49}$

ステップ 1.2.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{9}{7}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$ です。

$- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$10 = 0$

ステップ 2.3

$10 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

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