微分積分例

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{2}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 9$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1$

ステップ 1.1.4.3

$12$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $6 x^{2} - 18 x + 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 1.2.2.3

$2$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 18 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 18 x$ の微分係数は $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 1.2.3.3

$- 18$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x - 18 + \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 1.2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.2.4.1

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 12 x - 18 + 0$

ステップ 1.2.4.2

$12 x - 18$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x - 18$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x - 18$ です。

$12 x - 18$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x - 18 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x - 18 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $18$ を足します。

$12 x = 18$

ステップ 2.3

$12 x = 18$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$12 x = 18$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 x}{12} = \frac{18}{12}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 x}{12} = \frac{18}{12}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{18}{12}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$18$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$6$ を $18$ で因数分解します。

$x = \frac{6 (3)}{12}$

ステップ 2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.2.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 2}$

ステップ 2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 2}$

ステップ 2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{3}{2}$ を $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{3}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

ステップ 3.1.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2^{3}}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

ステップ 3.1.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{8}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

ステップ 3.1.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.4.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 (4)}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

ステップ 3.1.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 \cdot 4}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

ステップ 3.1.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

ステップ 3.1.2.1.5

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 12 (\frac{3}{2})$

ステップ 3.1.2.1.6

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \frac{9}{2^{2}} + 12 (\frac{3}{2})$

ステップ 3.1.2.1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 (\frac{9}{4}) + 12 (\frac{3}{2})$

ステップ 3.1.2.1.8

$- 9 (\frac{9}{4})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.8.1

$- 9$ と $\frac{9}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 9 \cdot 9}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

ステップ 3.1.2.1.8.2

$- 9$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 81}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

ステップ 3.1.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

ステップ 3.1.2.1.10

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.10.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 2 (6) (\frac{3}{2})$

ステップ 3.1.2.1.10.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 2 \cdot (6 (\frac{3}{2}))$

ステップ 3.1.2.1.10.3

式を書き換えます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 6 \cdot 3$

ステップ 3.1.2.1.11

$6$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 18$

ステップ 3.1.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.1.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{27 - 81}{4}$

ステップ 3.1.2.2.2

$27$ から $81$ を引きます。

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{- 54}{4}$

ステップ 3.1.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$- 54$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1.1

$2$ を $- 54$ で因数分解します。

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 (- 27)}{4}$

ステップ 3.1.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{- 27}{2}$

ステップ 3.1.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{3}{2}) = 18 - \frac{27}{2}$

ステップ 3.1.2.4

$18$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{3}{2}) = 18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

ステップ 3.1.2.5

$18$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2}$

ステップ 3.1.2.6

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{18 \cdot 2 - 27}{2}$

ステップ 3.1.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.2.7.1

$18$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{36 - 27}{2}$

ステップ 3.1.2.7.2

$36$ から $27$ を引きます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2}$

ステップ 3.1.2.8

最終的な答えは $\frac{9}{2}$ です。

$\frac{9}{2}$

ステップ 3.2

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ で代入して $\frac{3}{2}$ 求めた点は、 $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \frac{3}{2})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1.4$ で置換えます。

$f'' (1.4) = 12 (1.4) - 18$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$12$ に $1.4$ をかけます。

$f'' (1.4) = 16.8 - 18$

ステップ 5.2.2

$16.8$ から $18$ を引きます。

$f'' (1.4) = - 1.2$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 1.2$ です。

$- 1.2$

ステップ 5.3

$1.4$ で二次導関数は $- 1.2$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, \frac{3}{2})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{3}{2})$ で減少

ステップ 6

区間 $(\frac{3}{2}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1.6$ で置換えます。

$f'' (1.6) = 12 (1.6) - 18$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$12$ に $1.6$ をかけます。

$f'' (1.6) = 19.2 - 18$

ステップ 6.2.2

$19.2$ から $18$ を引きます。

$f'' (1.6) = 1.2$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $1.2$ です。

$1.2$

ステップ 6.3

$1.6$ で二次導関数は $1.2$ です。これは正の値なので、 $(\frac{3}{2}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{3}{2}, \infty)$ で増加

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ です。

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例