微分積分例

$f (x) = 2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{\frac{2}{3}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ です。

$f' (x) = 2 + 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.3.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 1.1.3.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.1.3.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.1.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

ステップ 1.1.3.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

ステップ 1.1.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.3.8

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

ステップ 1.1.3.9

$3$ と $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = 2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

ステップ 1.1.3.10

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.1.3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = 2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.3.12

$3$ を $6$ で因数分解します。

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.3.13

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.13.1

$3$ を $3 x^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 1.1.3.13.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.3.13.3

式を書き換えます。

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

微分します。

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ステップ 1.2.1.1

総和則では、 $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 1.2.1.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 1.2.2.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ を ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

ステップ 1.2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{3}}$ とします。

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

ステップ 1.2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{3}}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.2.2.4

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

ステップ 1.2.2.5

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

ステップ 1.2.2.5.2

$\frac{1}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

ステップ 1.2.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

ステップ 1.2.2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

ステップ 1.2.2.7

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 1.2.2.8

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 1.2.2.9

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.2.9.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

ステップ 1.2.2.9.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

ステップ 1.2.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

ステップ 1.2.2.11

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 1.2.2.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 1.2.2.13

指数を足して $x^{- \frac{2}{3}}$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.2.13.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 1.2.2.13.2

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

ステップ 1.2.2.13.3

$- 2$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

ステップ 1.2.2.13.4

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

ステップ 1.2.2.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{4}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

ステップ 1.2.2.15

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 1.2.2.16

$- 2$ と $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 1.2.2.17

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 1.2.3

$0$ から $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ です。

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 2.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

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