微分積分例

$f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{5} - 10 x^{3} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x^{3}$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $- 10$ をかけます。

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.3.2

$5 x^{4} - 30 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $5 x^{4} - 30 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

ステップ 1.2.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 30 x^{2}$ の微分係数は $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 30 (2 x)$

ステップ 1.2.3.3

$2$ に $- 30$ をかけます。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $20 x^{3} - 60 x$ です。

$20 x^{3} - 60 x$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $20 x^{3} - 60 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$20 x^{3} - 60 x = 0$

ステップ 2.2

$20 x$ を $20 x^{3} - 60 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$20 x$ を $20 x^{3}$ で因数分解します。

$20 x (x^{2}) - 60 x = 0$

ステップ 2.2.2

$20 x$ を $- 60 x$ で因数分解します。

$20 x (x^{2}) + 20 x (- 3) = 0$

ステップ 2.2.3

$20 x$ を $20 x (x^{2}) + 20 x (- 3)$ で因数分解します。

$20 x (x^{2} - 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{2} = 3$

ステップ 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ 2.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

ステップ 2.5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

ステップ 2.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 2.6

最終解は $20 x (x^{2} - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{5} - 10 {(0)}^{3} - 8$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 10 {(0)}^{3} - 8$

ステップ 3.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 10 \cdot 0 - 8$

ステップ 3.1.2.1.3

$- 10$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - 8$

ステップ 3.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 3.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 - 8$

ステップ 3.1.2.2.2

$0$ から $8$ を引きます。

$f (0) = - 8$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $- 8$ です。

$- 8$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, - 8)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, - 8)$

ステップ 3.3

$\sqrt{3}$ を $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{3}$ で置換えます。

$f (\sqrt{3}) = {(\sqrt{3})}^{5} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${\sqrt{3}}^{5}$ を $\sqrt{3^{5}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3^{5}} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

ステップ 3.3.2.1.2

$3$ を $5$ 乗します。

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{243} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

ステップ 3.3.2.1.3

$243$ を $9^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1

$81$ を $243$ で因数分解します。

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{81 (3)} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

ステップ 3.3.2.1.3.2

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{9^{2} \cdot 3} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

ステップ 3.3.2.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

ステップ 3.3.2.1.5

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 \sqrt{3^{3}} - 8$

ステップ 3.3.2.1.6

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 \sqrt{27} - 8$

ステップ 3.3.2.1.7

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.7.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 \sqrt{9 (3)} - 8$

ステップ 3.3.2.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 8$

ステップ 3.3.2.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 (3 \sqrt{3}) - 8$

ステップ 3.3.2.1.9

$3$ に $- 10$ をかけます。

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 30 \sqrt{3} - 8$

ステップ 3.3.2.2

$9 \sqrt{3}$ から $30 \sqrt{3}$ を引きます。

$f (\sqrt{3}) = - 21 \sqrt{3} - 8$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $- 21 \sqrt{3} - 8$ です。

$- 21 \sqrt{3} - 8$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ で代入して $\sqrt{3}$ 求めた点は、 $(\sqrt{3}, - 21 \sqrt{3} - 8)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\sqrt{3}, - 21 \sqrt{3} - 8)$

ステップ 3.5

$- \sqrt{3}$ を $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.5.1

式の変数 $x$ を $- \sqrt{3}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{3}) = {(- \sqrt{3})}^{5} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

ステップ 3.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{3}) = {(- 1)}^{5} {\sqrt{3}}^{5} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

ステップ 3.5.2.1.2

$- 1$ を $5$ 乗します。

$f (- \sqrt{3}) = - {\sqrt{3}}^{5} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

ステップ 3.5.2.1.3

${\sqrt{3}}^{5}$ を $\sqrt{3^{5}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3^{5}} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

ステップ 3.5.2.1.4

$3$ を $5$ 乗します。

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{243} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

ステップ 3.5.2.1.5

$243$ を $9^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.5.1

$81$ を $243$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{81 (3)} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

ステップ 3.5.2.1.5.2

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{9^{2} \cdot 3} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

ステップ 3.5.2.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \sqrt{3}) = - (9 \sqrt{3}) - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

ステップ 3.5.2.1.7

$9$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

ステップ 3.5.2.1.8

積の法則を $- \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) - 8$

ステップ 3.5.2.1.9

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- {\sqrt{3}}^{3}) - 8$

ステップ 3.5.2.1.10

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- \sqrt{3^{3}}) - 8$

ステップ 3.5.2.1.11

$3$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- \sqrt{27}) - 8$

ステップ 3.5.2.1.12

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.12.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- \sqrt{9 (3)}) - 8$

ステップ 3.5.2.1.12.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 8$

ステップ 3.5.2.1.13

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- (3 \sqrt{3})) - 8$

ステップ 3.5.2.1.14

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- 3 \sqrt{3}) - 8$

ステップ 3.5.2.1.15

$- 3$ に $- 10$ をかけます。

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} + 30 \sqrt{3} - 8$

ステップ 3.5.2.2

$- 9 \sqrt{3}$ と $30 \sqrt{3}$ をたし算します。

$f (- \sqrt{3}) = 21 \sqrt{3} - 8$

ステップ 3.5.2.3

最終的な答えは $21 \sqrt{3} - 8$ です。

$21 \sqrt{3} - 8$

ステップ 3.6

$f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ で代入して $- \sqrt{3}$ 求めた点は、 $(- \sqrt{3}, 21 \sqrt{3} - 8)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- \sqrt{3}, 21 \sqrt{3} - 8)$

ステップ 3.7

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, - 8), (\sqrt{3}, - 21 \sqrt{3} - 8), (- \sqrt{3}, 21 \sqrt{3} - 8)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \sqrt{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1.8320508$ で置換えます。

$f'' (- 1.8320508) = 20 {(- 1.8320508)}^{3} - 60 \cdot - 1.8320508$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 1.8320508$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1.8320508) = 20 \cdot - 6.14911394 - 60 \cdot - 1.8320508$

ステップ 5.2.1.2

$20$ に $- 6.14911394$ をかけます。

$f'' (- 1.8320508) = - 122.98227893 - 60 \cdot - 1.8320508$

ステップ 5.2.1.3

$- 60$ に $- 1.8320508$ をかけます。

$f'' (- 1.8320508) = - 122.98227893 + 109.92304845$

ステップ 5.2.2

$- 122.98227893$ と $109.92304845$ をたし算します。

$f'' (- 1.8320508) = - 13.05923048$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 13.05923048$ です。

$- 13.05923048$

ステップ 5.3

$- 1.8320508$ で二次導関数は $- 13.05923048$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - \sqrt{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \sqrt{3})$ で減少

ステップ 6

区間 $(- \sqrt{3}, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.8660254$ で置換えます。

$f'' (- 0.8660254) = 20 {(- 0.8660254)}^{3} - 60 \cdot - 0.8660254$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 0.8660254$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.8660254) = 20 \cdot - 0.64951905 - 60 \cdot - 0.8660254$

ステップ 6.2.1.2

$20$ に $- 0.64951905$ をかけます。

$f'' (- 0.8660254) = - 12.99038105 - 60 \cdot - 0.8660254$

ステップ 6.2.1.3

$- 60$ に $- 0.8660254$ をかけます。

$f'' (- 0.8660254) = - 12.99038105 + 51.96152422$

ステップ 6.2.2

$- 12.99038105$ と $51.96152422$ をたし算します。

$f'' (- 0.8660254) = 38.97114317$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $38.97114317$ です。

$38.97114317$

ステップ 6.3

$- 0.8660254$ で二次導関数は $38.97114317$ です。これは正の値なので、 $(- \sqrt{3}, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \sqrt{3}, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, \sqrt{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.8660254$ で置換えます。

$f'' (0.8660254) = 20 {(0.8660254)}^{3} - 60 \cdot 0.8660254$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0.8660254$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.8660254) = 20 \cdot 0.64951905 - 60 \cdot 0.8660254$

ステップ 7.2.1.2

$20$ に $0.64951905$ をかけます。

$f'' (0.8660254) = 12.99038105 - 60 \cdot 0.8660254$

ステップ 7.2.1.3

$- 60$ に $0.8660254$ をかけます。

$f'' (0.8660254) = 12.99038105 - 51.96152422$

ステップ 7.2.2

$12.99038105$ から $51.96152422$ を引きます。

$f'' (0.8660254) = - 38.97114317$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 38.97114317$ です。

$- 38.97114317$

ステップ 7.3

$0.8660254$ で二次導関数は $- 38.97114317$ です。これは負の値なので、 $(0, \sqrt{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, \sqrt{3})$ で減少

ステップ 8

区間 $(\sqrt{3}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1.8320508$ で置換えます。

$f'' (1.8320508) = 20 {(1.8320508)}^{3} - 60 \cdot 1.8320508$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$1.8320508$ を $3$ 乗します。

$f'' (1.8320508) = 20 \cdot 6.14911394 - 60 \cdot 1.8320508$

ステップ 8.2.1.2

$20$ に $6.14911394$ をかけます。

$f'' (1.8320508) = 122.98227893 - 60 \cdot 1.8320508$

ステップ 8.2.1.3

$- 60$ に $1.8320508$ をかけます。

$f'' (1.8320508) = 122.98227893 - 109.92304845$

ステップ 8.2.2

$122.98227893$ から $109.92304845$ を引きます。

$f'' (1.8320508) = 13.05923048$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $13.05923048$ です。

$13.05923048$

ステップ 8.3

$1.8320508$ で二次導関数は $13.05923048$ です。これは正の値なので、 $(\sqrt{3}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\sqrt{3}, \infty)$ で増加

ステップ 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, 21 \sqrt{3} - 8), (0, - 8), (\sqrt{3}, - 21 \sqrt{3} - 8)$ .

$(- \sqrt{3}, 21 \sqrt{3} - 8), (0, - 8), (\sqrt{3}, - 21 \sqrt{3} - 8)$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例