微分積分例

$f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 12)}^{2}]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 12)}^{2})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 12$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 12$ とします。

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 12$ で置き換えます。

$f' (x) = 2 (2 (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

ステップ 1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 4 ((x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

ステップ 1.1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ です。

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12))$

ステップ 1.1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12))$

ステップ 1.1.3.4

$- 12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 12$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + 0)$

ステップ 1.1.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x)$

ステップ 1.1.3.5.2

$2$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 8 (x^{2} - 12) x$

ステップ 1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (8 x^{2} + 8 \cdot - 12) x$

ステップ 1.1.4.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 8 x^{2} x + 8 \cdot (- 12 x)$

ステップ 1.1.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 8 (x \cdot x^{2}) + 8 \cdot (- 12 x)$

ステップ 1.1.4.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 8 x^{1 + 2} + 8 \cdot (- 12 x)$

ステップ 1.1.4.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 \cdot (- 12 x)$

ステップ 1.1.4.3.4

$8$ に $- 12$ をかけます。

$f' (x) = 8 x^{3} - 96 x$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $8 x^{3} - 96 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 96 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 96$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 96 x$ の微分係数は $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \frac{d}{d x} x$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \cdot 1$

ステップ 1.2.3.3

$- 96$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $24 x^{2} - 96$ です。

$24 x^{2} - 96$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $24 x^{2} - 96 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$24 x^{2} - 96 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $96$ を足します。

$24 x^{2} = 96$

ステップ 2.3

$24 x^{2} = 96$ の各項を $24$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$24 x^{2} = 96$ の各項を $24$ で割ります。

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{96}{24}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$96$ を $24$ で割ります。

$x^{2} = 4$

ステップ 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 2.5

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ を $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 2 {({(2)}^{2} - 12)}^{2}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

ステップ 3.1.2.2

$4$ から $12$ を引きます。

$f (2) = 2 {(- 8)}^{2}$

ステップ 3.1.2.3

$- 8$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 2 \cdot 64$

ステップ 3.1.2.4

$2$ に $64$ をかけます。

$f (2) = 128$

ステップ 3.1.2.5

最終的な答えは $128$ です。

$128$

ステップ 3.2

$f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ で代入して $2$ 求めた点は、 $(2, 128)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(2, 128)$

ステップ 3.3

$- 2$ を $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = 2 {({(- 2)}^{2} - 12)}^{2}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

ステップ 3.3.2.2

$4$ から $12$ を引きます。

$f (- 2) = 2 {(- 8)}^{2}$

ステップ 3.3.2.3

$- 8$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = 2 \cdot 64$

ステップ 3.3.2.4

$2$ に $64$ をかけます。

$f (- 2) = 128$

ステップ 3.3.2.5

最終的な答えは $128$ です。

$128$

ステップ 3.4

$f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ で代入して $- 2$ 求めた点は、 $(- 2, 128)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 2, 128)$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(2, 128), (- 2, 128)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2.1$ で置換えます。

$f'' (- 2.1) = 24 {(- 2.1)}^{2} - 96$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 2.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

ステップ 5.2.1.2

$24$ に $4.41$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = 105.84 - 96$

ステップ 5.2.2

$105.84$ から $96$ を引きます。

$f'' (- 2.1) = 9.84$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $9.84$ です。

$9.84$

ステップ 5.3

$- 2.1$ で二次導関数は $9.84$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 2)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 2, 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 24 {(0)}^{2} - 96$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 24 \cdot 0 - 96$

ステップ 6.2.1.2

$24$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 96$

ステップ 6.2.2

$0$ から $96$ を引きます。

$f'' (0) = - 96$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 96$ です。

$- 96$

ステップ 6.3

$0$ で二次導関数は $- 96$ です。これは負の値なので、 $(- 2, 2)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 2, 2)$ で減少

ステップ 7

区間 $(2, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2.1$ で置換えます。

$f'' (2.1) = 24 {(2.1)}^{2} - 96$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$2.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

ステップ 7.2.1.2

$24$ に $4.41$ をかけます。

$f'' (2.1) = 105.84 - 96$

ステップ 7.2.2

$105.84$ から $96$ を引きます。

$f'' (2.1) = 9.84$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $9.84$ です。

$9.84$

ステップ 7.3

$2.1$ で二次導関数は $9.84$ です。これは正の値なので、 $(2, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(2, \infty)$ で増加

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, 128), (2, 128)$ .

$(- 2, 128), (2, 128)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例