微分積分例

$y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

ステップ 1

$y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $\frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{8}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{8} x^{4}$ の微分係数は $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.3

$4$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\frac{4}{8} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.4

$\frac{4}{8}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.5

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

$4$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 (x^{3})}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{x^{3}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3}}{2} - 3 (2 x)$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{3}}{2} - 6 x$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $\frac{x^{3}}{2} - 6 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{3}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 2.2.2.3

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 2.2.2.4

$\frac{3}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \cdot 1$

ステップ 2.2.3.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} - 6$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{3 x^{2}}{2} - 6$ です。

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

ステップ 3.3

方程式の両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

ステップ 3.4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.1

まとめる。

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

ステップ 3.4.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

ステップ 3.4.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

ステップ 3.4.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

ステップ 3.4.1.1.3.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$\frac{2}{3} \cdot 6$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

ステップ 3.4.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

ステップ 3.4.2.1.1.3

式を書き換えます。

$x^{2} = 2 \cdot 2$

ステップ 3.4.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x^{2} = 4$

ステップ 3.5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 3.6

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 3.6.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 3.7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 3.7.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 3.7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ を $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{2}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(2)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.2

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.2.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(2)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(2)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (2) = 2 - 3 {(2)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 2 - 3 \cdot 4$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 3$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 2 - 12$

ステップ 4.1.2.2

$2$ から $12$ を引きます。

$f (2) = - 10$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $- 10$ です。

$- 10$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ で代入して $2$ 求めた点は、 $(2, - 10)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(2, - 10)$

ステップ 4.3

$- 2$ を $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot {(- 2)}^{4} - 3 {(- 2)}^{2}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(- 2)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.2.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(- 2)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(- 2)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (- 2) = 2 - 3 {(- 2)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = 2 - 3 \cdot 4$

ステップ 4.3.2.1.4

$- 3$ に $4$ をかけます。

$f (- 2) = 2 - 12$

ステップ 4.3.2.2

$2$ から $12$ を引きます。

$f (- 2) = - 10$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $- 10$ です。

$- 10$

ステップ 4.4

$f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ で代入して $- 2$ 求めた点は、 $(- 2, - 10)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 2, - 10)$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(2, - 10), (- 2, - 10)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2.1$ で置換えます。

$f'' (- 2.1) = \frac{3 {(- 2.1)}^{2}}{2} - 6$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 2.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $4.41$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

ステップ 6.2.1.3

$13.23$ を $2$ で割ります。

$f'' (- 2.1) = 6.615 - 6$

ステップ 6.2.2

$6.615$ から $6$ を引きます。

$f'' (- 2.1) = 0.615$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.615$ です。

$0.615$

ステップ 6.3

$- 2.1$ で二次導関数は $0.615$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 2)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 2, 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{2} - 6$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0}{2} - 6$

ステップ 7.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{0}{2} - 6$

ステップ 7.2.1.3

$0$ を $2$ で割ります。

$f'' (0) = 0 - 6$

ステップ 7.2.2

$0$ から $6$ を引きます。

$f'' (0) = - 6$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 6$ です。

$- 6$

ステップ 7.3

$0$ で二次導関数は $- 6$ です。これは負の値なので、 $(- 2, 2)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 2, 2)$ で減少

ステップ 8

区間 $(2, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2.1$ で置換えます。

$f'' (2.1) = \frac{3 {(2.1)}^{2}}{2} - 6$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$2.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

ステップ 8.2.1.2

$3$ に $4.41$ をかけます。

$f'' (2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

ステップ 8.2.1.3

$13.23$ を $2$ で割ります。

$f'' (2.1) = 6.615 - 6$

ステップ 8.2.2

$6.615$ から $6$ を引きます。

$f'' (2.1) = 0.615$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $0.615$ です。

$0.615$

ステップ 8.3

$2.1$ で二次導関数は $0.615$ です。これは正の値なので、 $(2, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(2, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 2, - 10), (2, - 10)$ です。

$(- 2, - 10), (2, - 10)$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例