微分積分例

${(\frac{t^{3}}{t^{6} + 3})}^{2}$

ステップ 1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = \frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ で置き換えます。

$2 \frac{t^{3}}{t^{6} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

ステップ 2

$2$ と $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ をまとめます。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

ステップ 3

$f (t) = t^{3}$ および $g (t) = t^{6} + 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{(t^{6} + 3) \frac{d}{d t} [t^{3}] - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{(t^{6} + 3) (3 t^{2}) - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.2

$3$ を $t^{6} + 3$ の左に移動させます。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 \cdot (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.3

総和則では、 $t^{6} + 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [3]$ です。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.4

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5} + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.5

$3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5} + 0)}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6

式を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$6 t^{5}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5})}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{3} t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

ステップ 5

指数を足して $t^{3}$ に $t^{5}$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$t^{5}$ を移動させます。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 (t^{5} t^{3})}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

ステップ 5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{5 + 3}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3

$5$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

ステップ 6

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3}$ に $\frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{(t^{6} + 3) {(t^{6} + 3)}^{2}}$

ステップ 7

指数を足して $t^{6} + 3$ に ${(t^{6} + 3)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$t^{6} + 3$ に ${(t^{6} + 3)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 7.1.1

$t^{6} + 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{1} {(t^{6} + 3)}^{2}}$

ステップ 7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{1 + 2}}$

ステップ 7.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 t^{3} ((3 t^{6} + 3 \cdot 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 t^{3} (3 t^{6} t^{2} + 3 \cdot 3 t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 t^{3} (3 t^{6} t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4

分子を簡約します。

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ステップ 8.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.4.1.1

指数を足して $t^{3}$ に $t^{6}$ を掛けます。

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ステップ 8.4.1.1.1

$t^{6}$ を移動させます。

$\frac{2 (t^{6} t^{3}) (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 t^{6 + 3} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.1.3

$6$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2 t^{9} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 \cdot 3 t^{9} t^{2} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.3

指数を足して $t^{9}$ に $t^{2}$ を掛けます。

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ステップ 8.4.1.3.1

$t^{2}$ を移動させます。

$\frac{2 \cdot 3 (t^{2} t^{9}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \cdot 3 t^{2 + 9} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.3.3

$2$ と $9$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot 3 t^{11} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 t^{11} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{3} t^{2} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.6

指数を足して $t^{3}$ に $t^{2}$ を掛けます。

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ステップ 8.4.1.6.1

$t^{2}$ を移動させます。

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 (t^{2} t^{3}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{2 + 3} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.6.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.7

$2 \cdot 3 \cdot 3$ を掛けます。

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ステップ 8.4.1.7.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 t^{11} + 6 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.7.2

$6$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{3} t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.9

指数を足して $t^{3}$ に $t^{8}$ を掛けます。

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ステップ 8.4.1.9.1

$t^{8}$ を移動させます。

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 (t^{8} t^{3})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{8 + 3}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.9.3

$8$ と $3$ をたし算します。

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{11}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.10

$2$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} - 12 t^{11}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.4.2

$6 t^{11}$ から $12 t^{11}$ を引きます。

$\frac{- 6 t^{11} + 18 t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.5

$6 t^{5}$ を $- 6 t^{11} + 18 t^{5}$ で因数分解します。

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ステップ 8.5.1

$6 t^{5}$ を $- 6 t^{11}$ で因数分解します。

$\frac{6 t^{5} (- t^{6}) + 18 t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.5.2

$6 t^{5}$ を $18 t^{5}$ で因数分解します。

$\frac{6 t^{5} (- t^{6}) + 6 t^{5} (3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.5.3

$6 t^{5}$ を $6 t^{5} (- t^{6}) + 6 t^{5} (3)$ で因数分解します。

$\frac{6 t^{5} (- t^{6} + 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.6

$- 1$ を $- t^{6}$ で因数分解します。

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6}) + 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.7

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6}) - 1 (- 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.8

$- 1$ を $- (t^{6}) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6} - 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.9

$- (t^{6} - 3)$ を $- 1 (t^{6} - 3)$ に書き換えます。

$\frac{6 t^{5} (- 1 (t^{6} - 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(6 t^{5}) (t^{6} - 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例