微分積分例

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$2$ を $x^{2} + 3$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 3) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.6

簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.6.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.6.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.1.6.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.2

$2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.2.2

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ です。

$\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$6 x = 0$

ステップ 2.3

$6 x = 0$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$6 x = 0$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{6}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ を $6$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 3}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0^{2} + 3}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0 + 3}$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$\frac{0}{3}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ を $3$ で割ります。

$0$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例