微分積分例

$y = \frac{x^{3}}{4} - 3 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $\frac{x^{3}}{4} - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{3}}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{3}{4} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{3}{4}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{3 x^{2}}{4} - 3$ です。

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$\frac{3 x^{2}}{4} = 3$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $\frac{4}{3}$ を掛けます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

ステップ 2.4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1.1

まとめる。

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

ステップ 2.4.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

ステップ 2.4.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

ステップ 2.4.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

ステップ 2.4.1.1.3.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

ステップ 2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$x^{2} = 4$

ステップ 2.5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 2.6

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.6.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 2.7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 2.7.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 2.7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x^{3}}{4} - 3 x$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(2)}^{3}}{4} - 3 \cdot 2$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{8}{4} - 3 \cdot 2$

ステップ 4.1.2.1.2

$8$ を $4$ で割ります。

$2 - 3 \cdot 2$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 3$ に $2$ をかけます。

$2 - 6$

ステップ 4.1.2.2

$2$ から $6$ を引きます。

$- 4$

ステップ 4.2

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(- 2)}^{3}}{4} - 3 \cdot - 2$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$\frac{- 8}{4} - 3 \cdot - 2$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 8$ を $4$ で割ります。

$- 2 - 3 \cdot - 2$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$- 2 + 6$

ステップ 4.2.2.2

$- 2$ と $6$ をたし算します。

$4$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(2, - 4), (- 2, 4)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例